Страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.15. На клетчатой бумаге через точку C проведите прямую, перпендикулярную прямой AB (рис. 5.20).

б) Рис. 5.20

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой на клетчатой бумаге, воспользуемся свойством угловых коэффициентов. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно -1: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Угловой коэффициент прямой на клетчатой бумаге легко найти как отношение количества клеток, на которое нужно сместиться по вертикали, к количеству клеток, на которое нужно сместиться по горизонтали, чтобы перейти от одной точки прямой к другой.

а) 1. Найдем угловой коэффициент прямой AB. Для перемещения из точки A в точку B мы смещаемся на 4 клетки вправо (положительное направление по оси x) и на 4 клетки вверх (положительное направление по оси y). Таким образом, угловой коэффициент прямой AB равен:

$k_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{4} = 1$

2. Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой. Обозначим его $k_{\perp}$. Из условия перпендикулярности:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{1} = -1$

3. Построим перпендикулярную прямую через точку C. Угловой коэффициент, равный -1, означает, что при смещении на 1 клетку вправо нужно сместиться на 1 клетку вниз. Начиная от точки C, последовательно применяем это правило, чтобы найти другие точки, принадлежащие искомой прямой. Соединив эти точки, получаем прямую, перпендикулярную AB.

Ответ:

б) 1. Найдем угловой коэффициент прямой AB. Для перемещения из точки A в точку B мы смещаемся на 6 клеток вправо и на 3 клетки вверх. Угловой коэффициент прямой AB равен:

$k_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Найдем угловой коэффициент перпендикулярной прямой.

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{1/2} = -2$

3. Построим перпендикулярную прямую через точку C. Угловой коэффициент, равный -2, означает, что при смещении на 1 клетку вправо нужно сместиться на 2 клетки вниз. Начиная от точки C, применим это правило. Сместившись от C на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз, получим новую точку. Проведем прямую через точку C и эту новую точку.

Ответ:

5.16. На клетчатой бумаге через точку $C$ проведите прямую, перпендикулярную прямой $AB$ (рис. 5.21).

a)

б)

Рис. 5.21

Для построения прямой, перпендикулярной данной прямой AB и проходящей через точку C на клетчатой бумаге, можно воспользоваться свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Угловой коэффициент прямой на клетчатой бумаге легко найти как отношение количества клеток, на которое смещаемся по вертикали, к количеству клеток, на которое смещаемся по горизонтали.

Если угловой коэффициент прямой AB равен $k_1$, то угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_2$ будет равен $k_2 = -\frac{1}{k_1}$. Зная угловой коэффициент и точку, через которую проходит прямая, мы можем её построить.

а) 1. Найдём угловой коэффициент прямой AB. Чтобы переместиться из точки A в точку B, нужно сдвинуться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Таким образом, угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{1/2} = -2$.
3. Чтобы построить прямую с угловым коэффициентом $-2$, проходящую через точку C, нужно из точки C откладывать шаги: 1 клетка вправо и 2 клетки вниз (или 1 клетка влево и 2 клетки вверх). Проведём прямую через эти точки.

Ответ: Искомая перпендикулярная прямая построена на рисунке синим цветом.

б) 1. Найдём угловой коэффициент прямой AB. Чтобы переместиться из точки A в точку B, нужно сдвинуться на 2 клетки вправо и на 4 клетки вверх. Таким образом, угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{4}{2} = 2$.
2. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой будет равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{2}$.
3. Чтобы построить прямую с угловым коэффициентом $-\frac{1}{2}$, проходящую через точку C, нужно из точки C откладывать шаги: 2 клетки вправо и 1 клетка вниз (или 2 клетки влево и 1 клетка вверх). Проведём прямую через эти точки.

Ответ: Искомая перпендикулярная прямая построена на рисунке синим цветом.

5.17. Какая прямая, из указанных на рисунке 5.22, перпендикулярна прямой:

а) а;

б) b;

в) с;

г) d?

Рис. 5.22

Для решения задачи определим угловые коэффициенты (наклоны) прямых, изображенных на рисунке. Введем декартову систему координат, поместив ее начало (0, 0) в общую точку пересечения прямых. Оси координат направим вдоль линий сетки. Будем считать, что сторона каждой квадратной клетки равна 1.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами $(x, y)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y}{x}$.

Найдем угловые коэффициенты для прямых, содержащих лучи a, b, c и d, определяя по сетке координаты точек, через которые они проходят:

Прямая a проходит через точку с координатами $(-1, 2)$. Ее угловой коэффициент: $k_a = \frac{2}{-1} = -2$.
Прямая b проходит через точку с координатами $(2, 1)$. Ее угловой коэффициент: $k_b = \frac{1}{2}$.
Прямая c проходит через точку с координатами $(1, 2)$. Ее угловой коэффициент: $k_c = \frac{2}{1} = 2$.
Прямая d проходит через точку с координатами $(2, -1)$. Ее угловой коэффициент: $k_d = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$.

Две прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ (за исключением случая вертикальной и горизонтальной прямых). То есть, если прямые имеют угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$, то условие их перпендикулярности: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

а) a

Ищем прямую, перпендикулярную прямой a. Угловой коэффициент прямой a равен $k_a = -2$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_a \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $\frac{1}{2}$, имеет прямая b. Следовательно, прямая b перпендикулярна прямой a.

Ответ: b.

б) b

Ищем прямую, перпендикулярную прямой b. Угловой коэффициент прямой b равен $k_b = \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_b \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_b} = \frac{-1}{1/2} = -2$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $-2$, имеет прямая a. Следовательно, прямая a перпендикулярна прямой b.

Ответ: a.

в) c

Ищем прямую, перпендикулярную прямой c. Угловой коэффициент прямой c равен $k_c = 2$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_c \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_c} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $-\frac{1}{2}$, имеет прямая d. Следовательно, прямая d перпендикулярна прямой c.

Ответ: d.

г) d

Ищем прямую, перпендикулярную прямой d. Угловой коэффициент прямой d равен $k_d = -\frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой $k_{perp}$ должен удовлетворять условию $k_d \cdot k_{perp} = -1$. Отсюда $k_{perp} = \frac{-1}{k_d} = \frac{-1}{-1/2} = 2$. Среди указанных прямых, угловой коэффициент, равный $2$, имеет прямая c. Следовательно, прямая c перпендикулярна прямой d.

Ответ: c.