Страница 19 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

3.22. На сколько частей разбивают плоскость:

а) два луча;

б) три луча;

в) четыре луча;

г) * $n$ лучей с общей вершиной?

а) Два луча, исходящие из одной точки (общей вершины), образуют угол. Эти лучи делят всю плоскость на две части: внутреннюю область угла и внешнюю область угла.

Таким образом, два луча с общей вершиной разбивают плоскость на 2 части.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим три луча с общей вершиной. Первые два луча делят плоскость на две части. Третий луч, проведенный из той же вершины, пройдет через одну из этих частей и разделит ее на две новые. В результате общее число частей станет $2 - 1 + 2 = 3$.

Три луча с общей вершиной разбивают плоскость на 3 части, образуя три угла вокруг общей вершины.
Ответ: 3.

в) Рассмотрим четыре луча с общей вершиной. По аналогии с предыдущими пунктами, первые три луча делят плоскость на 3 части. Четвертый луч, исходящий из той же вершины, разделит одну из существующих трех частей на две.
Следовательно, общее количество частей станет $3 - 1 + 2 = 4$.

Четыре луча с общей вершиной разбивают плоскость на 4 части.
Ответ: 4.

г) Обобщая результаты предыдущих пунктов, можно заметить закономерность: количество частей, на которые лучи с общей вершиной делят плоскость, равно количеству лучей.
- 2 луча → 2 части
- 3 луча → 3 части
- 4 луча → 4 части
Этот результат можно доказать методом математической индукции.
База индукции: для $n=2$ лучей утверждение верно, они делят плоскость на 2 части.
Шаг индукции: предположим, что $k$ лучей делят плоскость на $k$ частей. Добавим $(k+1)$-й луч. Он пройдет через одну из $k$ существующих частей и разделит ее на две. Общее число частей станет равным $(k-1) + 2 = k+1$.
Таким образом, утверждение верно и для $k+1$.
Следовательно, при условии, что никакие два луча не совпадают и не являются продолжением друг друга (не образуют прямую), $n$ лучей с общей вершиной разбивают плоскость на $n$ частей.
Ответ: $n$.

Как вы думаете, на сколько частей эта прямая разбивает плоскость?

Попробуйте объяснить это самостоятельно.

Как вы думаете, на сколько частей эта прямая разбивает плоскость?

Любая прямая, проведенная на плоскости, разбивает эту плоскость ровно на две части. Эти части в геометрии носят название полуплоскости.
Ответ: на 2 части.

Попробуйте объяснить это самостоятельно.

Представим себе плоскость как бесконечный, идеально ровный лист бумаги. Прямая линия, проведенная на этой плоскости, также является бесконечной и простирается в обе стороны.

Эта прямая линия действует как непреодолимая граница. Все точки плоскости, которые не лежат на самой прямой, оказываются разделены этой границей на две отдельные области. Это можно охарактеризовать так:
1. Если взять любые две точки, принадлежащие одной и той же области, то их можно соединить отрезком, который не пересечет исходную прямую.
2. Если же взять одну точку из первой области, а другую — из второй, то любой отрезок, соединяющий эти две точки, обязательно пересечет прямую-границу.

Таким образом, прямая делит всю плоскость на две непересекающиеся части, которые называются полуплоскостями. Сама прямая является их общей границей.

Это можно наглядно проиллюстрировать:

На рисунке плоскость условно показана прямоугольником. Красная линия (прямая) разделяет её на две области, закрашенные разными цветами — это и есть две полуплоскости.

Ответ: Прямая, являясь бесконечной границей, разделяет всю плоскость на две отдельные области, называемые полуплоскостями.