Страница 17 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется длиной отрезка?

2. Как обозначается длина отрезка?

3. Как измеряется длина отрезка?

4. Что называется расстоянием между двумя точками?

5. Какие свойства выполняются для длин отрезков?

1. Что называется длиной отрезка?

Длиной отрезка называется положительная величина, которая определяется путем сравнения этого отрезка с другим отрезком, принятым за единицу измерения (эталон). Длина показывает, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в измеряемом отрезке. Например, если за единицу измерения взят сантиметр, то длина отрезка покажет, сколько сантиметров в нем содержится.

Ответ: Длина отрезка — это положительное число, показывающее, во сколько раз данный отрезок больше или меньше единичного отрезка (единицы измерения).

2. Как обозначается длина отрезка?

Длина отрезка, концами которого являются точки $A$ и $B$, обозначается двумя заглавными буквами, стоящими рядом: $AB$. Такое же обозначение используется и для самого отрезка, поэтому смысл (отрезок или его длина) определяется из контекста. Например, в выражении $AB = 5$ см речь идет именно о длине. Также отрезок и его длину могут обозначать одной строчной латинской буквой, например, $a$.

Ответ: Длина отрезка с концами в точках $A$ и $B$ обозначается $AB$.

3. Как измеряется длина отрезка?

Измерение длины отрезка — это процедура, которая заключается в сравнении его с эталоном длины. Чаще всего для этого используется измерительный прибор с нанесенной на него шкалой, например, линейка. Процесс измерения включает следующие шаги:

1. Один конец отрезка совмещают с нулевой отметкой на шкале линейки.
2. Затем смотрят, с какой отметкой на шкале совпадает второй конец отрезка.
3. Полученное число и есть длина отрезка в тех единицах, в которых проградуирована шкала линейки (например, в сантиметрах или миллиметрах).

Ответ: Длина отрезка измеряется при помощи измерительного инструмента (например, линейки) путем сравнения отрезка с выбранной единицей длины.

4. Что называется расстоянием между двумя точками?

Расстоянием между двумя точками в геометрии называется длина отрезка, который соединяет эти точки. Если даны две точки, $A$ и $B$, то расстояние между ними — это длина отрезка $AB$. Таким образом, понятия «длина отрезка $AB$» и «расстояние между точками $A$ и $B$» по сути означают одно и то же.

Ответ: Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка, концами которого являются эти точки.

5. Какие свойства выполняются для длин отрезков?

Для длин отрезков (как и для расстояний между точками) справедливы следующие основные свойства:

• Неотрицательность. Длина любого отрезка является неотрицательным числом ($AB \ge 0$). Длина равна нулю только в том случае, если отрезок вырождается в точку, то есть его концы совпадают.
• Сравнение. Равные отрезки имеют равные длины. И обратно: отрезки, имеющие равные длины, равны. Если $AB$ и $CD$ — равные отрезки, то их длины $AB = CD$.
• Сложение (аддитивность). Если точка $C$ является внутренней точкой отрезка $AB$ (лежит между точками $A$ и $B$), то длина всего отрезка $AB$ равна сумме длин его частей, отрезков $AC$ и $CB$. Математически это записывается так: $AB = AC + CB$.

Ответ: Основные свойства длин отрезков: длина всегда неотрицательна; равные отрезки имеют равные длины; длина целого отрезка равна сумме длин его частей, если он разделен точкой.

3.1. Используя линейку, нарисуйте отрезки длиной: а) 6 см; б) 18 мм; в) 1 дм.

а) 6 см

Чтобы нарисовать отрезок длиной 6 см, необходимо взять линейку. На листе бумаги поставить точку, это будет начало отрезка. Приложить линейку так, чтобы ноль на шкале совпадал с этой точкой. Затем найти на шкале линейки отметку «6» (6 сантиметров) и поставить вторую точку. Соединить обе точки прямой линией. Полученный отрезок будет иметь длину 6 см.

Ответ:

б) 18 мм

Сначала необходимо перевести миллиметры в сантиметры для удобства работы с обычной линейкой. В одном сантиметре содержится 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Следовательно, 18 мм можно представить как 1 см и 8 мм: $18 \text{ мм} = 1.8 \text{ см}$.
Для построения отрезка нужно приложить линейку, отметить начальную точку у отметки «0». Затем найти отметку «1» (1 см) и отсчитать после нее еще 8 маленьких делений (миллиметров). В этом месте поставить конечную точку и соединить ее с начальной.

Ответ:

в) 1 дм

Для начала переведем дециметры в сантиметры. Один дециметр равен десяти сантиметрам: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Таким образом, задача сводится к построению отрезка длиной 10 см. Берем линейку, отмечаем начальную точку напротив деления «0». Находим на линейке деление «10» и отмечаем конечную точку. Соединяем точки прямой линией.

Ответ:

3.2. На клетчатой бумаге изобразите отрезки $AB$, $CD$, $EF$, как показано на рисунке 3.4. С помощью линейки измерьте их длины.

Рис. 3.4

Для решения этой задачи необходимо выполнить два шага:

1. Начертить отрезки AB, CD и EF на клетчатой бумаге, соблюдая их расположение и размеры относительно сетки, как показано на рисунке.

2. Измерить длину полученных отрезков с помощью линейки.

Поскольку точное измерение по изображению на экране невозможно, мы выполним расчеты длин отрезков, а затем приведем результат, который получился бы при измерении настоящей линейкой на бумаге. Для расчетов мы примем, что сторона одной клетки на бумаге равна 0,5 см (или 5 мм), что является стандартом для большинства тетрадей в клетку.

Отрезок AB

Чтобы начертить отрезок AB, нужно от точки A отсчитать 2 клетки вправо и 2 клетки вверх и поставить точку B. Затем соединить точки A и B. Для вычисления точной длины отрезка AB воспользуемся теоремой Пифагора. Отрезок AB является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны сторонам 2-х клеток. Пусть сторона одной клетки равна $k$. Тогда длина отрезка AB вычисляется по формуле:

$AB = \sqrt{(2k)^2 + (2k)^2} = \sqrt{4k^2 + 4k^2} = \sqrt{8k^2} = k \cdot \sqrt{8} = 2\sqrt{2}k$

Подставим значение $k = 0,5$ см:

$AB = 2\sqrt{2} \cdot 0,5 \text{ см} = \sqrt{2} \text{ см} \approx 1,414 \text{ см}.$

При измерении с помощью линейки с точностью до миллиметра, мы получили бы значение 1,4 см.

Ответ: Длина отрезка AB примерно равна 1,4 см.

Отрезок CD

Чтобы начертить отрезок CD, нужно от точки C отсчитать 3 клетки вправо и 1 клетку вверх и поставить точку D. Затем соединить точки C и D. Длина отрезка CD является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами в 3 клетки и 1 клетку.

$CD = \sqrt{(3k)^2 + (1k)^2} = \sqrt{9k^2 + k^2} = \sqrt{10k^2} = k\sqrt{10}$

Подставим значение $k = 0,5$ см:

$CD = 0,5 \cdot \sqrt{10} \text{ см} \approx 0,5 \cdot 3,162 \text{ см} \approx 1,581 \text{ см}.$

При измерении линейкой результат составил бы примерно 1,6 см, так как 1,581 см ближе к 1,6 см.

Ответ: Длина отрезка CD примерно равна 1,6 см.

Отрезок EF

Отрезок EF строится аналогично отрезку CD: от точки E нужно отсчитать 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить точку F. Поскольку смещения по горизонтали и вертикали для отрезка EF такие же, как и для отрезка CD (3 клетки вправо и 1 клетка вверх), их длины равны.

$EF = CD = k\sqrt{10} \approx 1,581 \text{ см}.$

Измерение линейкой также даст результат около 1,6 см.

Ответ: Длина отрезка EF примерно равна 1,6 см.

3.3. На рисунке 3.5 $AB = CD$, $AC = 6$ см. Найдите $BD$.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть отрезки, лежащие на одной прямой. Хотя рисунок 3.5 не приведён, из условия $AB = CD$ и вопроса о нахождении $BD$ при известном $AC$, можно сделать вывод, что точки на прямой расположены последовательно: A, B, C, D.

Длина отрезка AC складывается из длин отрезков AB и BC. Это можно записать в виде формулы: $AC = AB + BC$.

Аналогично, длина отрезка BD складывается из длин отрезков BC и CD. Формула для длины BD будет такой: $BD = BC + CD$.

По условию задачи нам дано, что $AB = CD$. Давайте воспользуемся этим равенством и подставим в формулу для BD вместо отрезка CD равный ему отрезок AB: $BD = BC + AB$.

Теперь сравним выражения для длин отрезков AC и BD: $AC = AB + BC$ $BD = BC + AB$ Правые части этих равенств идентичны, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($AB + BC = BC + AB$). Следовательно, и левые части равенств тоже равны: $AC = BD$.

В условии сказано, что $AC = 6$ см. Так как мы доказали, что $BD = AC$, то длина отрезка BD также равна 6 см.

Ответ: 6 см.

3.4. На рисунке 3.5 $AC = BD$, $AC = 10$ см, $CD = 4$ см. Найдите длину отрезка $BC$.

Рис. 3.5

Согласно условию задачи и рисунку, точки A, B, C и D лежат на одной прямой последовательно.

Дано:
1. Длины отрезков AC и BD равны: $AC = BD$.
2. Длина отрезка AC равна 10 см: $AC = 10$ см.
3. Длина отрезка CD равна 4 см: $CD = 4$ см.

Нужно найти длину отрезка BC.

Поскольку точки лежат на одной прямой, мы можем выразить длины больших отрезков через суммы длин меньших.
Отрезок AC состоит из отрезков AB и BC, следовательно:
$AC = AB + BC$

Отрезок BD состоит из отрезков BC и CD, следовательно:
$BD = BC + CD$

В условии сказано, что $AC = BD$. Приравняем выражения для их длин:
$AB + BC = BC + CD$

В этом равенстве отрезок BC является общим слагаемым в левой и правой частях. Вычтем BC из обеих частей уравнения:
$AB = CD$

Так как по условию $CD = 4$ см, то и длина отрезка AB также равна 4 см:
$AB = 4$ см.

Теперь, зная длины отрезков AC и AB, мы можем найти искомую длину отрезка BC из первого уравнения:
$AC = AB + BC$
Подставим известные значения:
$10 \text{ см} = 4 \text{ см} + BC$

Выразим BC:
$BC = 10 \text{ см} - 4 \text{ см}$
$BC = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

3.5. Точка $C$ лежит на прямой между точками $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $AB$, если:

а) $AC = 2$ см, $CB = 3$ см;

б) $AC = 3$ дм, $CB = 4$ дм;

в) $AC = 12$ м, $CB = 5$ м.

Поскольку точка C лежит на прямой между точками A и B, она делит отрезок AB на два отрезка: AC и CB. Длина всего отрезка AB равна сумме длин его частей. Это основное свойство измерения отрезков, которое можно выразить формулой: $AB = AC + CB$.

а) Даны длины отрезков $AC = 2$ см и $CB = 3$ см. Для нахождения длины отрезка AB воспользуемся свойством сложения отрезков:
$AB = AC + CB = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Ответ: 5 см.

б) Даны длины отрезков $AC = 3$ дм и $CB = 4$ дм. Единицы измерения одинаковы, поэтому просто складываем длины:
$AB = AC + CB = 3 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 7 \text{ дм}$.
Ответ: 7 дм.

в) Даны длины отрезков $AC = 12$ м и $CB = 5$ м. Аналогично предыдущим пунктам, находим сумму длин:
$AB = AC + CB = 12 \text{ м} + 5 \text{ м} = 17 \text{ м}$.
Ответ: 17 м.

3.6. На прямой в одну сторону последовательно отложены отрезки $OE = 5$ см, $EF = 30$ мм, $FG = 15$ мм, $GH = 11$ см. Найдите отрезки:

а) $OF$;

б) $OH$;

в) $EG$;

г) $FH$.

Для решения задачи сначала приведем все длины отрезков к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см).

Мы знаем, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

Исходные данные в сантиметрах:
$OE = 5 \text{ см}$
$EF = 30 \text{ мм} = 3 \text{ см}$
$FG = 15 \text{ мм} = 1.5 \text{ см}$
$GH = 11 \text{ см}$

Так как отрезки отложены на прямой последовательно в одну сторону, то точки O, E, F, G, H расположены именно в этом порядке. Визуализируем это на схеме:

а) OF
Длина отрезка $OF$ является суммой длин отрезков $OE$ и $EF$.
$OF = OE + EF = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
Ответ: 8 см.

б) OH
Длина отрезка $OH$ является суммой длин всех отрезков: $OE, EF, FG$ и $GH$.
$OH = OE + EF + FG + GH = 5 \text{ см} + 3 \text{ см} + 1.5 \text{ см} + 11 \text{ см} = 20.5 \text{ см}$.
Ответ: 20.5 см.

в) EG
Длина отрезка $EG$ является суммой длин отрезков $EF$ и $FG$.
$EG = EF + FG = 3 \text{ см} + 1.5 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$.
Ответ: 4.5 см.

г) FH
Длина отрезка $FH$ является суммой длин отрезков $FG$ и $GH$.
$FH = FG + GH = 1.5 \text{ см} + 11 \text{ см} = 12.5 \text{ см}$.
Ответ: 12.5 см.

3.7. Точки A, B и C принадлежат одной прямой. Известно, что $AB = 4$ см, $AC = 7$ см, $BC = 3$ см. Какая из точек A, B, C лежит между двумя другими?

По условию задачи точки А, В и С лежат на одной прямой. Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, мы должны проверить, для какого из возможных расположений выполняется основное свойство отрезка: длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

Даны длины отрезков: $AB = 4$ см, $AC = 7$ см, $BC = 3$ см.

Рассмотрим три возможных варианта расположения точек на прямой:

1. Точка А лежит между точками В и С.

В этом случае отрезок ВС будет состоять из отрезков ВА и АС. Тогда должно выполняться равенство $BC = BA + AC$.

Подставим известные значения: $3 = 4 + 7$.

Получаем неверное равенство $3 \neq 11$. Значит, этот вариант расположения невозможен.

2. Точка В лежит между точками А и С.

В этом случае отрезок АС будет состоять из отрезков АВ и ВС. Тогда должно выполняться равенство $AC = AB + BC$.

Подставим известные значения: $7 = 4 + 3$.

Получаем верное равенство $7 = 7$. Значит, именно такое расположение точек является правильным.

3. Точка С лежит между точками А и В.

В этом случае отрезок АВ будет состоять из отрезков АС и СВ. Тогда должно выполняться равенство $AB = AC + CB$.

Подставим известные значения: $4 = 7 + 3$.

Получаем неверное равенство $4 \neq 10$. Значит, этот вариант расположения также невозможен.

Единственный случай, когда выполняется равенство, — это когда точка B лежит между A и C. Это происходит потому, что самый длинный отрезок ($AC = 7$ см) равен сумме двух других отрезков ($AB=4$ см и $BC=3$ см).

Ответ: Между двумя другими лежит точка B.

3.8. Могут ли точки $A$, $B$, $C$ принадлежать одной прямой, если $AB = 2$ см, $BC = 3$ см, $AC = 4$ см?

Для того чтобы три точки A, B и C принадлежали одной прямой, необходимо, чтобы одна из точек лежала между двумя другими. Если точки лежат на одной прямой, то длина наибольшего отрезка должна быть равна сумме длин двух других отрезков. Это свойство вытекает из аксиомы измерения отрезков.

В условии задачи даны длины трех отрезков, образованных этими точками: $AB = 2$ см, $BC = 3$ см, $AC = 4$ см.

Необходимо проверить, выполняется ли равенство для какого-либо из трех возможных случаев расположения точек на прямой.

1. Предположим, что точка B лежит между точками A и C. В этом случае должно выполняться равенство $AB + BC = AC$.
Подставим данные значения: $2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
Однако, по условию $AC = 4$ см. Поскольку $5 \neq 4$, этот вариант расположения точек невозможен.

2. Предположим, что точка A лежит между точками B и C. В этом случае должно выполняться равенство $BA + AC = BC$.
Подставим данные значения: $2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Однако, по условию $BC = 3$ см. Поскольку $6 \neq 3$, этот вариант также невозможен.

3. Предположим, что точка C лежит между точками A и B. В этом случае должно выполняться равенство $AC + CB = AB$.
Подставим данные значения: $4 \text{ см} + 3 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Однако, по условию $AB = 2$ см. Поскольку $7 \neq 2$, этот вариант тоже невозможен.

Поскольку ни один из трех возможных случаев расположения точек на одной прямой не удовлетворяет условию, точки A, B и C не могут принадлежать одной прямой. Стоит отметить, что данные отрезки удовлетворяют неравенству треугольника ($2+3>4$), а значит, точки A, B и C образуют треугольник.

Ответ: нет, точки A, B, C не могут принадлежать одной прямой, так как ни в одном из возможных случаев расположения точек на прямой длина большего отрезка не равна сумме длин двух других ($2+3 \neq 4$, $2+4 \neq 3$, $4+3 \neq 2$).

3.9. Точки $A$, $B$, $C$ принадлежат одной прямой. Принадлежит ли точка $B$ отрезку $AC$, если $AC = 3 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$?

Чтобы точка $B$ принадлежала отрезку $AC$, необходимо, чтобы она лежала между точками $A$ и $C$. В этом случае, согласно аксиоме измерения отрезков, длина всего отрезка $AC$ должна быть равна сумме длин его частей, отрезков $AB$ и $BC$. Это выражается формулой:

$AB + BC = AC$

Из условия задачи нам даны следующие длины:

$AC = 3$ см

$BC = 5$ см

Давайте проверим, может ли выполняться равенство. Если бы точка $B$ лежала на отрезке $AC$, то длина отрезка $BC$ (как части) не могла бы быть больше длины всего отрезка $AC$. Однако, мы видим, что $5 \text{ см} > 3 \text{ см}$, то есть $BC > AC$.

Это противоречие означает, что точка $B$ не может находиться на отрезке $AC$.

Поскольку точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, возможны другие варианты их взаимного расположения. Рассмотрим их:

1. Точка C лежит между точками A и B.
В этом случае выполняется равенство $AC + CB = AB$. Подставляя известные значения, получаем: $AB = 3 \text{ см} + 5 \text{ см} = 8 \text{ см}$. Такое расположение возможно.

2. Точка A лежит между точками B и C.
В этом случае выполняется равенство $BA + AC = BC$. Отсюда можно найти длину отрезка $BA$: $BA = BC - AC = 5 \text{ см} - 3 \text{ см} = 2 \text{ см}$. Такое расположение также возможно.

В обоих допустимых случаях расположения точек на прямой точка $B$ не принадлежит отрезку $AC$.

Ответ: Нет, точка B не принадлежит отрезку AC, так как длина отрезка $BC$ больше длины отрезка $AC$.