Номер 3.22, страница 19 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

3.22. На сколько частей разбивают плоскость:

а) два луча;

б) три луча;

в) четыре луча;

г) * $n$ лучей с общей вершиной?

а) Два луча, исходящие из одной точки (общей вершины), образуют угол. Эти лучи делят всю плоскость на две части: внутреннюю область угла и внешнюю область угла.

Таким образом, два луча с общей вершиной разбивают плоскость на 2 части.
Ответ: 2.

б) Рассмотрим три луча с общей вершиной. Первые два луча делят плоскость на две части. Третий луч, проведенный из той же вершины, пройдет через одну из этих частей и разделит ее на две новые. В результате общее число частей станет $2 - 1 + 2 = 3$.

Три луча с общей вершиной разбивают плоскость на 3 части, образуя три угла вокруг общей вершины.
Ответ: 3.

в) Рассмотрим четыре луча с общей вершиной. По аналогии с предыдущими пунктами, первые три луча делят плоскость на 3 части. Четвертый луч, исходящий из той же вершины, разделит одну из существующих трех частей на две.
Следовательно, общее количество частей станет $3 - 1 + 2 = 4$.

Четыре луча с общей вершиной разбивают плоскость на 4 части.
Ответ: 4.

г) Обобщая результаты предыдущих пунктов, можно заметить закономерность: количество частей, на которые лучи с общей вершиной делят плоскость, равно количеству лучей.
- 2 луча → 2 части
- 3 луча → 3 части
- 4 луча → 4 части
Этот результат можно доказать методом математической индукции.
База индукции: для $n=2$ лучей утверждение верно, они делят плоскость на 2 части.
Шаг индукции: предположим, что $k$ лучей делят плоскость на $k$ частей. Добавим $(k+1)$-й луч. Он пройдет через одну из $k$ существующих частей и разделит ее на две. Общее число частей станет равным $(k-1) + 2 = k+1$.
Таким образом, утверждение верно и для $k+1$.
Следовательно, при условии, что никакие два луча не совпадают и не являются продолжением друг друга (не образуют прямую), $n$ лучей с общей вершиной разбивают плоскость на $n$ частей.
Ответ: $n$.