Номер 4.2, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.2. Даны прямая $a$ и четыре точки $A, B, C, D$, не принадлежащие этой прямой. Пересекает ли эту прямую отрезок $AD$, если:

а) отрезки $AB, BC$ и $CD$ пересекают прямую $a$;

б) отрезки $AC$ и $BC$ пересекают прямую $a$, отрезок $BD$ не пересекает;

в) отрезки $AB$ и $CD$ пересекают прямую $a$, отрезок $BC$ не пересекает;

г) отрезки $AB$ и $CD$ не пересекают прямую $a$, отрезок $BC$ пересекает;

д) отрезки $AB, BC$ и $CD$ не пересекают прямую $a$;

е) отрезки $AC, BC$ и $BD$ пересекают прямую? Изобразите данные ситуации.

Для решения задачи будем использовать следующее свойство: отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях (по разные стороны) относительно этой прямой. Если концы отрезка лежат в одной полуплоскости (по одну сторону), то отрезок не пересекает прямую.

а) отрезки AB, BC и CD пересекают прямую a;
Рассуждаем последовательно:
1. Отрезок AB пересекает прямую a, значит, точки A и B лежат по разные стороны от прямой a.
2. Отрезок BC пересекает прямую a, значит, точки B и C лежат по разные стороны от прямой a.
3. Отрезок CD пересекает прямую a, значит, точки C и D лежат по разные стороны от прямой a.
Предположим, что точка A находится в одной полуплоскости (назовем ее верхней).
Из (1) следует, что точка B находится в другой (нижней) полуплоскости.
Из (2) следует, что точка C находится в той же полуплоскости, что и A (в верхней), так как она по другую сторону от B.
Из (3) следует, что точка D находится в той же полуплоскости, что и B (в нижней), так как она по другую сторону от C.
Таким образом, точка A находится в верхней полуплоскости, а точка D — в нижней. Это означает, что они лежат по разные стороны от прямой a, и, следовательно, отрезок AD пересекает прямую a.

Ответ: да, пересекает.

б) отрезки AC и BC пересекают прямую a, отрезок BD не пересекает;
1. Отрезок AC пересекает a, значит A и C лежат по разные стороны.
2. Отрезок BC пересекает a, значит B и C лежат по разные стороны.
3. Отрезок BD не пересекает a, значит B и D лежат по одну сторону.
Из (1) и (2) следует, что раз обе точки A и B находятся по другую сторону от C, то они должны находиться по одну сторону друг от друга.
Из (3) мы знаем, что B и D лежат по одну сторону.
Следовательно, точки A, B и D лежат по одну сторону от прямой a. Значит, отрезок AD не пересекает прямую a.

Ответ: нет, не пересекает.

в) отрезки AB и CD пересекают прямую a, отрезок BC не пересекает;
1. AB пересекает a, значит A и B лежат по разные стороны.
2. BC не пересекает a, значит B и C лежат по одну сторону.
3. CD пересекает a, значит C и D лежат по разные стороны.
Предположим, A в верхней полуплоскости.
Из (1) B — в нижней.
Из (2) C — тоже в нижней (по ту же сторону, что и B).
Из (3) D — в верхней (по другую сторону от C).
Получаем, что A и D находятся в одной и той же (верхней) полуплоскости. Следовательно, отрезок AD не пересекает прямую a.

Ответ: нет, не пересекает.

г) отрезки AB и CD не пересекают прямую a, отрезок BC пересекает;
1. AB не пересекает a, значит A и B лежат по одну сторону.
2. BC пересекает a, значит B и C лежат по разные стороны.
3. CD не пересекает a, значит C и D лежат по одну сторону.
Предположим, A в верхней полуплоскости.
Из (1) B — тоже в верхней.
Из (2) C — в нижней (по другую сторону от B).
Из (3) D — тоже в нижней (по ту же сторону, что и C).
Получаем, что A находится в верхней полуплоскости, а D — в нижней. Они лежат по разные стороны от прямой a, значит, отрезок AD пересекает a.

Ответ: да, пересекает.

д) отрезки AB, BC и CD не пересекают прямую a;
1. AB не пересекает a, значит A и B лежат по одну сторону.
2. BC не пересекает a, значит B и C лежат по одну сторону.
3. CD не пересекает a, значит C и D лежат по одну сторону.
Из этих условий следует, что все четыре точки A, B, C, D лежат по одну сторону от прямой a. Следовательно, отрезок AD, соединяющий точки A и D, также не пересекает прямую a.

Ответ: нет, не пересекает.

е) отрезки AC, BC и BD пересекают прямую a?
Предполагая, что это условие, а не вопрос:
1. AC пересекает a, значит A и C лежат по разные стороны.
2. BC пересекает a, значит B и C лежат по разные стороны.
3. BD пересекает a, значит B и D лежат по разные стороны.
Из (1) и (2) следует, что A и B лежат по одну сторону от прямой a (так как обе точки находятся на стороне, противоположной той, где лежит C).
Из (3) следует, что B и D лежат по разные стороны.
Поскольку A и B лежат по одну сторону, а D лежит по другую сторону от B, то A и D также должны лежать по разные стороны от прямой a. Следовательно, отрезок AD пересекает прямую a.

Ответ: да, пересекает.