Номер 4.1, страница 21 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.1. Изобразите прямую $p$ и точки $A, B, C, D, E, F$ так, что $A, E$ принадлежат данной прямой, остальные ей не принадлежат, причем $D$ и $F$ принадлежат разным полуплоскостям, $B$ и $C$ — одной полуплоскости, и отрезок $BD$ пересекает прямую $p$.

Для решения задачи проанализируем все условия и построим чертеж по шагам.

1. Изобразим прямую $p$. Эта прямая разделит плоскость на две полуплоскости, которые мы условно назовем верхней и нижней.

2. Разместим точки $A$ и $E$. По условию, точки $A$ и $E$ принадлежат прямой $p$. Отметим их на прямой. Запись в виде формулы: $A \in p$, $E \in p$.

3. Проанализируем расположение остальных точек. Точки $B, C, D, F$ не принадлежат прямой $p$. Их нужно расположить в полуплоскостях относительно прямой $p$.

4. Рассмотрим условие "отрезок $BD$ пересекает прямую $p$". Согласно аксиоме о расположении точек относительно прямой, если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает эту прямую. Таким образом, точки $B$ и $D$ должны находиться в разных полуплоскостях.

5. Рассмотрим условие "D и F принадлежат разным полуплоскостям". Это означает, что если точка $D$ находится в одной полуплоскости (например, верхней), то точка $F$ должна находиться в другой (нижней).

6. Рассмотрим условие "B и C — одной полуплоскости". Это означает, что точки $B$ и $C$ должны находиться на одной стороне от прямой $p$.

7. Сведем все условия воедино:

• Давайте поместим точку $D$ в верхнюю полуплоскость.
• Так как отрезок $BD$ пересекает прямую $p$, точка $B$ должна быть в нижней полуплоскости.
• Так как точки $B$ и $C$ лежат в одной полуплоскости, точка $C$ также должна быть в нижней полуплоскости.
• Так как точки $D$ и $F$ лежат в разных полуплоскостях, а $D$ находится в верхней, то точка $F$ должна быть в нижней полуплоскости.

В итоге получаем следующее расположение точек:

• На прямой $p$ лежат точки $A$ и $E$.
• В верхней полуплоскости лежит точка $D$.
• В нижней полуплоскости лежат точки $B$, $C$ и $F$.

Изобразим это на чертеже.

Данный чертеж полностью удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Чертеж, удовлетворяющий всем условиям задачи, представлен выше. Точки $A, E$ лежат на прямой $p$; точка $D$ — в одной полуплоскости относительно $p$, а точки $B, C, F$ — в другой.