Номер 5.12, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.12. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сумме углов $ \angle ABC $ и $ \angle PQR $ (рис. 5.17).

а)

б)

Рис. 5.17

Для решения задачи найдем тангенсы данных углов, а затем, используя формулу тангенса суммы, найдем тангенс искомого угла. Тангенс угла на клетчатой бумаге удобно находить как отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, построенном по клеткам.

а) 1. Найдем тангенс угла $ABC$. Сторона $BA$ лежит на горизонтальной линии сетки. Сторона $BC$ проходит через узел сетки, который смещен на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх относительно точки $B$. Таким образом, тангенс угла $ABC$, который мы обозначим как $ \alpha $, равен: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle ABC) = \frac{1}{2} $

2. Найдем величину угла $PQR$. Сторона $QR$ лежит на вертикальной линии сетки. Сторона $QP$ проходит через узел сетки, смещенный на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх, то есть под углом $45^\circ$ к горизонтали. Угол между вертикальной линией и линией под углом $45^\circ$ к горизонтали составляет $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Итак, угол $PQR$, который мы обозначим как $ \beta $, равен $45^\circ$. $ \tan(\beta) = \tan(\angle PQR) = \tan(45^\circ) = 1 $

3. Теперь найдем тангенс искомого угла $ \gamma = \alpha + \beta $ по формуле тангенса суммы: $ \tan(\gamma) = \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} $ Подставим значения: $ \tan(\gamma) = \frac{\frac{1}{2} + 1}{1 - \frac{1}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 $

4. Чтобы изобразить угол с тангенсом, равным 3, нужно из вершины угла провести один луч по горизонтальной линии сетки, а второй луч — через узел сетки, смещенный на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх (или на 2 вправо и 6 вверх, и т.д.).

Ответ:

б) 1. Угол $ABC$ такой же, как и в пункте а). Обозначим его $ \alpha $. $ \tan(\alpha) = \tan(\angle ABC) = \frac{1}{2} $

2. Найдем тангенс угла $PQR$. Обозначим его $ \beta $. Обе стороны угла, $QP$ и $QR$, являются лучами, выходящими из вершины $Q$ и проходящими через узлы сетки.

• Сторона $QR$ проходит через узел, смещенный на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх. Угловой коэффициент (тангенс угла с горизонталью) этой прямой $ k_1 = \frac{3}{1} = 3 $.
• Сторона $QP$ проходит через узел, смещенный на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх. Угловой коэффициент этой прямой $ k_2 = \frac{3}{2} $.

3. Найдем тангенс искомого угла $ \gamma = \alpha + \beta $: $ \tan(\gamma) = \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)} $ Подставим значения: $ \tan(\gamma) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{11}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{11}} = \frac{\frac{11+6}{22}}{1 - \frac{3}{22}} = \frac{\frac{17}{22}}{\frac{19}{22}} = \frac{17}{19} $

4. Чтобы изобразить угол с тангенсом, равным $ \frac{17}{19} $, нужно из вершины угла провести один луч по горизонтальной линии сетки, а второй луч — через узел сетки, смещенный на 19 клеток вправо и 17 клеток вверх.

Ответ: