Номер 5.10, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.10. На клетчатой бумаге нарисуйте угол $AOB$, аналогично данному на рисунке 5.15. Изобразите биссектрису $OC$ этого угла.

Рис. 5.15

a)

б)

Рис. 5.15

а) Угол $AOB$ на рисунке а) является прямым углом, его градусная мера равна $90^\circ$. Биссектриса $OC$ делит этот угол на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Чтобы построить биссектрису на клетчатой бумаге, мы проводим луч из вершины угла $O$, который является диагональю клеток сетки. Каждая точка на этом луче будет равноудалена от сторон угла $OA$ и $OB$.

На рисунке ниже показан угол $AOB$ и его биссектриса $OC$.

Ответ: Биссектриса прямого угла, стороны которого идут по линиям сетки, проходит по диагоналям клеток.

б) Для построения биссектрисы произвольного угла, заданного на клетчатой бумаге, можно использовать метод, основанный на свойстве биссектрисы как оси симметрии угла. Точки биссектрисы равноудалены от сторон угла.

Проанализируем угол $AOB$ на рисунке б). Пусть вершина $O$ находится в начале координат $(0,0)$.

• Луч $OA$ проходит через точку, смещенную на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Вектор направления $\vec{OA}$ можно записать как $(-1, -2)$.
• Луч $OB$ проходит через точку, смещенную на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз. Вектор направления $\vec{OB}$ можно записать как $(3, -1)$.

В общем случае биссектриса такого угла не обязательно проходит через узлы сетки. Чтобы построить биссектрису, можно найти на лучах $OA$ и $OB$ точки, равноудаленные от вершины $O$, и построить ромб. Диагональ ромба, выходящая из вершины $O$, и будет биссектрисой.

Длина отрезка $OA$ по клеткам: $d_{OA} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ клеток.Длина отрезка $OB$ по клеткам: $d_{OB} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$ клеток.

Поскольку $d_{OA} \ne d_{OB}$, нам нужно выбрать другие точки. Можно заметить, что на луче $OA$ есть точка $A'$ со смещением $(-2, -4)$, расстояние до которой $d_{OA'} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$. А на луче $OB$ есть точка $B'$ со смещением $(6, -2)$, расстояние до которой $d_{OB'} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{40}$. Найти точки на узлах сетки с равными расстояниями невозможно.

Однако можно найти хороший приближенный вариант. Угол между лучом $OA$ и вертикалью равен $\arctan(1/2)$, а угол между лучом $OB$ и вертикалью равен $\arctan(3/1)$. Расчеты показывают, что точная биссектриса не проходит через узлы сетки. Хорошим приближением будет луч, проходящий из точки $O$ через точку $C$, смещенную на 2 клетки вправо и 5 клеток вниз.

На рисунке ниже показано построение приближенной биссектрисы $OC$ (синий пунктирный луч).

Ответ: Показана приближенная биссектриса. Для точного построения на бумаге можно использовать метод построения ромба: циркулем отложить от вершины $O$ на лучах $OA$ и $OB$ равные отрезки $OA'$ и $OB'$, а затем найти середину отрезка $A'B'$. Луч, проведенный из $O$ через эту середину, будет биссектрисой.