Страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.6. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольники, стороны которых равны отрезкам, изображенным на рисунке 7.6.

а)

б)

Рис. 7.6

Для решения задачи необходимо сначала определить длины заданных отрезков, используя теорему Пифагора. Затем, для каждого случая, нужно попытаться построить треугольник с вершинами в узлах сетки. Если это невозможно, следует использовать классический метод построения с помощью циркуля и линейки, чтобы нарисовать искомый треугольник.

а) 1. Определение длин сторон. Примем сторону клетки за единицу длины. На рисунке 7.6 а) изображены три отрезка. Их длины можно найти по теореме Пифагора, рассматривая их как гипотенузы прямоугольных треугольников, катеты которых лежат на линиях сетки.

• Длина первого отрезка (верхнего), который смещен на 2 клетки по горизонтали и 1 по вертикали, равна $a = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
• Длина второго отрезка (среднего), который смещен на 3 клетки по горизонтали и 1 по вертикали, равна $b = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
• Длина третьего отрезка (нижнего), который смещен на 3 клетки по горизонтали, равна $c = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.

Проверим неравенство треугольника: $\sqrt{5} + 3 \approx 2.24 + 3 = 5.24 > \sqrt{10} \approx 3.16$. Все три неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует.

2. Проверка возможности построения с вершинами в узлах сетки. Чтобы треугольник можно было построить с вершинами в узлах сетки, векторы его сторон должны иметь целочисленные координаты. Пусть векторы сторон, образующие треугольник при последовательном соединении, — это $\vec{v_a}$, $\vec{v_b}$, $\vec{v_c}$. Тогда их сумма должна быть равна нулю: $\vec{v_a} + \vec{v_b} + \vec{v_c} = \vec{0}$. Если разместить две стороны $\vec{v_a}$ и $\vec{v_c}$ так, чтобы они выходили из одной вершины, то косинус угла $\gamma$ между ними можно вычислить по теореме косинусов:$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\gamma \implies \cos\gamma = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.Скалярное произведение векторов $\vec{v_a}$ и $\vec{v_c}$ равно $\vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = |\vec{v_a}| |\vec{v_c}| \cos\gamma = ac \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$.Подставим наши значения: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = \frac{5 + 9 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.Возможные целочисленные векторы для стороны $a=\sqrt{5}$ — это $(\pm 1, \pm 2)$ и $(\pm 2, \pm 1)$. Для стороны $c=3$ — $(\pm 3, 0)$ и $(0, \pm 3)$.Пусть $\vec{v_a}=(x_a, y_a)$ и $\vec{v_c}=(x_c, y_c)$. Их скалярное произведение $x_a x_c + y_a y_c$ должно быть равно 2.Если выбрать $\vec{v_c} = (\pm 3, 0)$, то получим $\pm 3x_a = 2$, откуда $x_a = \pm 2/3$. Это не целое число.Если выбрать $\vec{v_c} = (0, \pm 3)$, то получим $\pm 3y_a = 2$, откуда $y_a = \pm 2/3$. Это также не целое число.Следовательно, невозможно построить данный треугольник так, чтобы все его вершины находились в узлах сетки.

3. Построение. Треугольник можно построить, используя метод циркуля и линейки. Для этого нарисуем на клетчатой бумаге один из отрезков, например, отрезок длиной 3, с концами в точках A и B. Затем из точки A проведем окружность радиусом $\sqrt{5}$, а из точки B — окружность радиусом $\sqrt{10}$. Точка пересечения этих окружностей C будет третьей вершиной треугольника.

Ответ:

б) 1. Определение длин сторон. Аналогично пункту а), найдем длины сторон для рисунка 7.6 б).

• Длина первого отрезка (верхнего) $a = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
• Длина второго отрезка (среднего) $b = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
• Длина третьего отрезка (нижнего) $c = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$.

Неравенство треугольника выполняется: $\sqrt{13} + \sqrt{17} \approx 3.61 + 4.12 = 7.73 > \sqrt{26} \approx 5.1$.

2. Проверка возможности построения с вершинами в узлах сетки. Рассчитаем скалярное произведение векторов сторон $\vec{v_a}$ и $\vec{v_b}$, выходящих из одной вершины:$\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} = \frac{13 + 17 - 26}{2} = \frac{4}{2} = 2$.Возможные целочисленные векторы для стороны $a=\sqrt{13}$ — $(\pm 2, \pm 3), (\pm 3, \pm 2)$. Для стороны $b=\sqrt{17}$ — $(\pm 1, \pm 4), (\pm 4, \pm 1)$.Пусть $\vec{v_a}=(x_a, y_a)$ и $\vec{v_b}=(x_b, y_b)$. Проверим, может ли их скалярное произведение $x_a x_b + y_a y_b$ быть равным 2.Рассмотрим случай $\vec{v_a}=(\pm 3, \pm 2)$:

• Если $\vec{v_b}=(\pm 1, \pm 4)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 3 \cdot \pm 1) + (\pm 2 \cdot \pm 4) = \pm 3 \pm 8$. Ни одна из комбинаций не дает 2.
• Если $\vec{v_b}=(\pm 4, \pm 1)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 3 \cdot \pm 4) + (\pm 2 \cdot \pm 1) = \pm 12 \pm 2$. Ни одна из комбинаций не дает 2.

• Если $\vec{v_b}=(\pm 1, \pm 4)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 2 \cdot \pm 1) + (\pm 3 \cdot \pm 4) = \pm 2 \pm 12$. Ни одна из комбинаций не дает 2.
• Если $\vec{v_b}=(\pm 4, \pm 1)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 2 \cdot \pm 4) + (\pm 3 \cdot \pm 1) = \pm 8 \pm 3$. Ни одна из комбинаций не дает 2.

3. Построение. Построение выполняется аналогично пункту а), с помощью циркуля и линейки. Так как ни одна из сторон не имеет целочисленной длины, ни одну из сторон нельзя расположить ровно по линиям сетки. Однако, сторону длиной $\sqrt{26}$ можно представить вектором $(5,1)$. Разместим эту сторону между точками A=(0,0) и B=(5,1). Затем найдем третью вершину C как пересечение окружностей с центром в A радиусом $\sqrt{13}$ и с центром в B радиусом $\sqrt{17}$.

Ответ:

7.7. Треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. Известно, что $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см. Найдите стороны треугольника $EFG$.

По определению равных треугольников, у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы. В условии сказано, что треугольники $ABC$ и $EFG$ равны, что записывается как $ \triangle ABC = \triangle EFG $. Порядок букв в названии треугольников указывает на соответствие вершин: вершина $A$ соответствует вершине $E$, вершина $B$ — вершине $F$, а вершина $C$ — вершине $G$.

Из этого следует, что соответствующие стороны треугольников равны:

$AB = EF$

$BC = FG$

$AC = EG$

Нам даны длины сторон треугольника $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см. Используя равенство соответствующих сторон, находим длины сторон треугольника $EFG$:

$EF = AB = 5$ см

$FG = BC = 6$ см

$EG = AC = 7$ см

Ответ: Стороны треугольника $EFG$ равны: $EF = 5$ см, $FG = 6$ см, $EG = 7$ см.

7.8. Треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. Известно, что $A = 40^\circ$, $B = 60^\circ$, $C = 80^\circ$. Найдите углы треугольника $EFG$.

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $EFG$ равны. В геометрии это означает, что треугольники конгруэнтны, то есть при наложении они полностью совпадают. Это записывается как $\triangle ABC \cong \triangle EFG$.

Основное свойство конгруэнтных треугольников заключается в том, что их соответствующие элементы (углы и стороны) равны. Когда конгруэнтность записывается как $\triangle ABC \cong \triangle EFG$, подразумевается, что вершины соответствуют друг другу в том порядке, в котором они перечислены:
вершина $A$ соответствует вершине $E$,
вершина $B$ соответствует вершине $F$,
вершина $C$ соответствует вершине $G$.

Следовательно, соответствующие углы этих треугольников также равны:
$\angle E = \angle A$
$\angle F = \angle B$
$\angle G = \angle C$

В условии даны значения углов треугольника $ABC$: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 60^\circ$ и $\angle C = 80^\circ$. Подставив эти значения в полученные равенства, мы можем найти углы треугольника $EFG$:
$\angle E = 40^\circ$
$\angle F = 60^\circ$
$\angle G = 80^\circ$

Для проверки можно сложить углы треугольника $EFG$: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. Сумма углов равна $180^\circ$, что является верным для любого треугольника.

Ответ: углы треугольника $EFG$ равны: $\angle E = 40^\circ$, $\angle F = 60^\circ$, $\angle G = 80^\circ$.

7.9. Треугольники $ABC$, $PQR$ и $XYZ$ равны. Известно, что $AB = 5 \text{ см}$, $QR = 6 \text{ см}$, $XZ = 7 \text{ см}$. Найдите остальные стороны каждого треугольника.

Поскольку по условию задачи треугольники $ABC$, $PQR$ и $XYZ$ равны ($ \triangle ABC = \triangle PQR = \triangle XYZ $), то их соответствующие стороны равны. Соответствие сторон определяется порядком записи вершин треугольников.

Это означает, что:

Первая и вторая вершины: $AB = PQ = XY$

Вторая и третья вершины: $BC = QR = YZ$

Первая и третья вершины: $AC = PR = XZ$

Нам известны следующие длины сторон:

$AB = 5$ см

$QR = 6$ см

$XZ = 7$ см

Используя эти данные, мы можем найти длины всех сторон каждого треугольника. Так как $AB = 5$ см, то и $PQ = 5$ см, и $XY = 5$ см. Так как $QR = 6$ см, то и $BC = 6$ см, и $YZ = 6$ см. Так как $XZ = 7$ см, то и $AC = 7$ см, и $PR = 7$ см.

Таким образом, стороны каждого из трех треугольников равны 5 см, 6 см и 7 см. Теперь найдем недостающие стороны для каждого конкретного треугольника.

Остальные стороны треугольника ABC

Нам известна сторона $AB = 5$ см. Находим две другие стороны:

$BC$ соответствует $QR$, значит $BC = 6$ см.

$AC$ соответствует $XZ$, значит $AC = 7$ см.

Ответ: $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.

Остальные стороны треугольника PQR

Нам известна сторона $QR = 6$ см. Находим две другие стороны:

$PQ$ соответствует $AB$, значит $PQ = 5$ см.

$PR$ соответствует $XZ$, значит $PR = 7$ см.

Ответ: $PQ = 5$ см, $PR = 7$ см.

Остальные стороны треугольника XYZ

Нам известна сторона $XZ = 7$ см. Находим две другие стороны:

$XY$ соответствует $AB$, значит $XY = 5$ см.

$YZ$ соответствует $QR$, значит $YZ = 6$ см.

Ответ: $XY = 5$ см, $YZ = 6$ см.

7.10. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник $ABC$ (рис. 7.7) и изобразите его медианы.

а)

б)

Рис. 7.7

Для решения задачи необходимо построить медианы для каждого из представленных треугольников. Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У каждого треугольника три медианы.

Чтобы построить медианы, нужно выполнить следующие шаги для каждой стороны:

1. Найти середину стороны. Если концы отрезка имеют координаты $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то координаты его середины вычисляются по формуле $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
2. Соединить полученную точку с противолежащей вершиной треугольника.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

а) Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке а). Введем систему координат, где левый нижний угол сетки — точка $(0,0)$, а сторона одной клетки — единица.

Координаты вершин треугольника:

• $A(1, 1)$
• $B(5, 2)$
• $C(2, 4)$

Найдем координаты середин сторон:

• Середина стороны $AB$, точка $M_c$: $M_c = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = (3, 1.5)$.
• Середина стороны $BC$, точка $M_a$: $M_a = \left(\frac{5+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (3.5, 3)$.
• Середина стороны $AC$, точка $M_b$: $M_b = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = (1.5, 2.5)$.

Теперь проведем медианы: отрезок $AM_a$ из вершины $A$ к середине стороны $BC$, отрезок $BM_b$ из вершины $B$ к середине стороны $AC$ и отрезок $CM_c$ из вершины $C$ к середине стороны $AB$.

Ответ: Медианы построены на рисунке выше синим цветом.

б) Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке б). Используем аналогичную систему координат.

Координаты вершин треугольника:

• $A(1, 2)$
• $B(4, 0)$
• $C(2, 4)$

Найдем координаты середин сторон:

• Середина стороны $AB$, точка $M_c$: $M_c = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (2.5, 1)$.
• Середина стороны $BC$, точка $M_a$: $M_a = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (3, 2)$.
• Середина стороны $AC$, точка $M_b$: $M_b = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (1.5, 3)$.

Проведем медианы, соединяя вершины с серединами противоположных сторон: $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$.

Ответ: Медианы построены на рисунке выше синим цветом.

7.11. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник $ABC$ (рис. 7.8) и изобразите его биссектрису:

а) $CD$;

б) $AD$.

Для построения биссектрисы угла треугольника на клетчатой бумаге, когда биссектриса не проходит через узлы сетки, можно воспользоваться свойством биссектрисы (теоремой о биссектрисе угла треугольника). Эта теорема гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Алгоритм построения будет следующим:

1. Определяем, какой угол нужно разделить биссектрисой, и находим противолежащую ему сторону.
2. Находим длины двух сторон, образующих этот угол, используя теорему Пифагора (по клеточкам).
3. С помощью геометрического построения делим противолежащую сторону в найденном отношении. Точка деления будет являться концом биссектрисы.
4. Соединяем вершину угла с найденной точкой на противолежащей стороне.

а) Построение биссектрисы CD

В треугольнике ABC (рис. 7.8 а) необходимо построить биссектрису угла C. Эта биссектриса, обозначенная как CD, будет пересекать сторону AB в точке D.

1. Введем систему координат, приняв одну клетку за единицу. Пусть вершина C находится в точке (0, 2), A — в (2, 0), B — в (3, 4).

2. Согласно теореме о биссектрисе, точка D делит сторону AB в отношении $AD/DB = AC/BC$.

3. Найдем длины сторон AC и BC.Сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Длина $AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.Сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 (по горизонтали) и 2 (по вертикали). Длина $BC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.

4. Таким образом, биссектриса CD делит сторону AB в отношении $AD/DB = \sqrt{8}/\sqrt{13}$. Чтобы найти точку D, нужно разделить отрезок AB в этом отношении. Это можно сделать с помощью стандартного геометрического построения (например, с использованием теоремы Фалеса), отложив на вспомогательном луче отрезки, пропорциональные $\sqrt{8}$ и $\sqrt{13}$ (эти длины можно построить как диагонали прямоугольников 2x2 и 3x2 соответственно).

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: На рисунке выше изображен треугольник ABC и его биссектриса CD, построенная согласно свойству биссектрисы.

б) Построение биссектрисы AD

В треугольнике ABC (рис. 7.8 б) необходимо построить биссектрису угла A. Эта биссектриса, обозначенная как AD, будет пересекать сторону BC в точке D.

1. Введем систему координат. Пусть вершина A находится в точке (0, 0), C — в (2, 2), B — в (5, 1).

2. Согласно теореме о биссектрисе, точка D делит сторону BC в отношении $BD/DC = AB/AC$.

3. Найдем длины сторон AB и AC.Сторона AB является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 1. Длина $AB = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$.Сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Длина $AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.

4. Таким образом, биссектриса AD делит сторону BC в отношении $BD/DC = \sqrt{26}/\sqrt{8}$. Чтобы найти точку D, нужно разделить отрезок BC в этом отношении, используя аналогичное геометрическое построение, как и в пункте а).

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: На рисунке выше изображен треугольник ABC и его биссектриса AD, построенная согласно свойству биссектрисы.