Номер 7.10, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.10. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник $ABC$ (рис. 7.7) и изобразите его медианы.

а)

б)

Рис. 7.7

Для решения задачи необходимо построить медианы для каждого из представленных треугольников. Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У каждого треугольника три медианы.

Чтобы построить медианы, нужно выполнить следующие шаги для каждой стороны:

1. Найти середину стороны. Если концы отрезка имеют координаты $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то координаты его середины вычисляются по формуле $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.
2. Соединить полученную точку с противолежащей вершиной треугольника.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

а) Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке а). Введем систему координат, где левый нижний угол сетки — точка $(0,0)$, а сторона одной клетки — единица.

Координаты вершин треугольника:

• $A(1, 1)$
• $B(5, 2)$
• $C(2, 4)$

Найдем координаты середин сторон:

• Середина стороны $AB$, точка $M_c$: $M_c = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = (3, 1.5)$.
• Середина стороны $BC$, точка $M_a$: $M_a = \left(\frac{5+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (3.5, 3)$.
• Середина стороны $AC$, точка $M_b$: $M_b = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = (1.5, 2.5)$.

Теперь проведем медианы: отрезок $AM_a$ из вершины $A$ к середине стороны $BC$, отрезок $BM_b$ из вершины $B$ к середине стороны $AC$ и отрезок $CM_c$ из вершины $C$ к середине стороны $AB$.

Ответ: Медианы построены на рисунке выше синим цветом.

б) Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке б). Используем аналогичную систему координат.

Координаты вершин треугольника:

• $A(1, 2)$
• $B(4, 0)$
• $C(2, 4)$

Найдем координаты середин сторон:

• Середина стороны $AB$, точка $M_c$: $M_c = \left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (2.5, 1)$.
• Середина стороны $BC$, точка $M_a$: $M_a = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = (3, 2)$.
• Середина стороны $AC$, точка $M_b$: $M_b = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (1.5, 3)$.

Проведем медианы, соединяя вершины с серединами противоположных сторон: $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$.

Ответ: Медианы построены на рисунке выше синим цветом.