Номер 7.11, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.11. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник $ABC$ (рис. 7.8) и изобразите его биссектрису:

а) $CD$;

б) $AD$.

Для построения биссектрисы угла треугольника на клетчатой бумаге, когда биссектриса не проходит через узлы сетки, можно воспользоваться свойством биссектрисы (теоремой о биссектрисе угла треугольника). Эта теорема гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Алгоритм построения будет следующим:

1. Определяем, какой угол нужно разделить биссектрисой, и находим противолежащую ему сторону.
2. Находим длины двух сторон, образующих этот угол, используя теорему Пифагора (по клеточкам).
3. С помощью геометрического построения делим противолежащую сторону в найденном отношении. Точка деления будет являться концом биссектрисы.
4. Соединяем вершину угла с найденной точкой на противолежащей стороне.

а) Построение биссектрисы CD

В треугольнике ABC (рис. 7.8 а) необходимо построить биссектрису угла C. Эта биссектриса, обозначенная как CD, будет пересекать сторону AB в точке D.

1. Введем систему координат, приняв одну клетку за единицу. Пусть вершина C находится в точке (0, 2), A — в (2, 0), B — в (3, 4).

2. Согласно теореме о биссектрисе, точка D делит сторону AB в отношении $AD/DB = AC/BC$.

3. Найдем длины сторон AC и BC.Сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Длина $AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.Сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 (по горизонтали) и 2 (по вертикали). Длина $BC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.

4. Таким образом, биссектриса CD делит сторону AB в отношении $AD/DB = \sqrt{8}/\sqrt{13}$. Чтобы найти точку D, нужно разделить отрезок AB в этом отношении. Это можно сделать с помощью стандартного геометрического построения (например, с использованием теоремы Фалеса), отложив на вспомогательном луче отрезки, пропорциональные $\sqrt{8}$ и $\sqrt{13}$ (эти длины можно построить как диагонали прямоугольников 2x2 и 3x2 соответственно).

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: На рисунке выше изображен треугольник ABC и его биссектриса CD, построенная согласно свойству биссектрисы.

б) Построение биссектрисы AD

В треугольнике ABC (рис. 7.8 б) необходимо построить биссектрису угла A. Эта биссектриса, обозначенная как AD, будет пересекать сторону BC в точке D.

1. Введем систему координат. Пусть вершина A находится в точке (0, 0), C — в (2, 2), B — в (5, 1).

2. Согласно теореме о биссектрисе, точка D делит сторону BC в отношении $BD/DC = AB/AC$.

3. Найдем длины сторон AB и AC.Сторона AB является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 5 и 1. Длина $AB = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$.Сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 2. Длина $AC = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.

4. Таким образом, биссектриса AD делит сторону BC в отношении $BD/DC = \sqrt{26}/\sqrt{8}$. Чтобы найти точку D, нужно разделить отрезок BC в этом отношении, используя аналогичное геометрическое построение, как и в пункте а).

Результат построения показан на рисунке:

Ответ: На рисунке выше изображен треугольник ABC и его биссектриса AD, построенная согласно свойству биссектрисы.