Номер 7.18, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.18. Сколько треугольников изображено на рисунке 7.11?

Рис. 7.11

Для решения этой задачи необходимо систематически подсчитать все треугольники, изображенные на рисунке. Фигура представляет собой правильный пятиугольник со всеми его диагоналями, которые образуют пентаграмму (звезду). Всего на рисунке 10 вершин: 5 внешних (вершины пятиугольника) и 5 внутренних (точки пересечения диагоналей).

Чтобы избежать ошибок и двойного счета, будем считать треугольником фигуру, состоящую из трех вершин (из числа 10 имеющихся), соединенных отрезками, которые являются частью линий, изображенных на рисунке.

Обозначим 5 внешних вершин буквами A, B, C, D, E (по часовой стрелке, начиная с верхней) и 5 внутренних вершин буквами F, G, H, I, J, как показано на рисунке ниже.

Внутренние вершины являются следующими пересечениями диагоналей: $F = AC \cap BD$, $G = BD \cap CE$, $H = CE \cap DA$, $I = DA \cap EB$, $J = EB \cap AC$.

Классифицируем все треугольники по типам вершин, из которых они состоят (O - внешняя, I - внутренняя).

1. Треугольники с 3 внешними вершинами (тип OOO)

Любые три из пяти внешних вершин (A, B, C, D, E) образуют треугольник, так как отрезки, их соединяющие, либо являются сторонами пятиугольника, либо его диагоналями, и все они изображены на рисунке. Количество таких треугольников равно числу сочетаний из 5 по 3:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Примеры: $\Delta ABC$, $\Delta ACE$. Всего таких треугольников 10.

2. Треугольники с 2 внешними и 1 внутренней вершиной (тип OOI)

Разобьем этот случай на два подслучая:

a) Внешние вершины являются смежными (например, A и B). Третья вершина K (внутренняя) должна быть соединена с A и B нарисованными отрезками. Для пары A, B проверим все внутренние вершины:

• K=F: отрезки AF (на диагонали AC) и BF (на диагонали BD) нарисованы. $\Delta ABF$ существует.
• K=J: отрезки AJ (на AC) и BJ (на EB) нарисованы. $\Delta ABJ$ существует.
• K=I: отрезки AI (на AD) и BI (на EB) нарисованы. $\Delta ABI$ существует.
• K=G: отрезок BG (на BD) нарисован, но AG не нарисован. Не треугольник.
• K=H: отрезок AH (на AD) нарисован, но BH не нарисован. Не треугольник.

b) Внешние вершины не являются смежными (например, A и C). Они соединены диагональю. Внутренняя вершина K должна быть соединена с A и C нарисованными отрезками. Для пары A, C:

• Вершины F и J лежат на самой диагонали AC, поэтому треугольников не образуют.
• K=H: отрезки AH (на AD) и CH (на CE) нарисованы. $\Delta ACH$ существует.
• K=G: отрезок CG (на CE) нарисован, но AG не нарисован. Не треугольник.
• K=I: отрезок AI (на AD) нарисован, но CI не нарисован. Не треугольник.

Всего треугольников типа OOI: $15 + 5 = 20$. Всего таких треугольников 20.

3. Треугольники с 1 внешней и 2 внутренними вершинами (тип OII)

Рассмотрим внешнюю вершину A и две внутренние K1, K2. Для существования треугольника $\Delta AK_1K_2$ необходимо, чтобы отрезки $AK_1$, $AK_2$ и $K_1K_2$ были нарисованы. Это означает, что $K_1$ и $K_2$ должны лежать на одной из диагоналей, не проходящей через A, а также $K_1$ и $K_2$ должны быть соединены с A нарисованными отрезками.

Рассмотрим вершину A.

• Внутренние вершины J и I лежат на диагонали EB. Отрезок AJ (на AC), AI (на AD) и JI (на EB) нарисованы. Следовательно, $\Delta AJI$ существует.

Других треугольников этого типа нет. Например, для вершины A и внутренних вершин F,G, лежащих на диагонали BD, отрезок AG не нарисован.Всего таких треугольников 5.

4. Треугольники с 3 внутренними вершинами (тип III)

Рассмотрим любые три внутренние вершины, например, F, G, H.Отрезок FG лежит на диагонали BD. Отрезок GH лежит на диагонали CE. Однако отрезок FH не является частью ни одной из нарисованных линий. Следовательно, $\Delta FGH$ не является треугольником в данной фигуре. Это справедливо для любой тройки внутренних вершин.

Всего таких треугольников 0.

Итоговый подсчет

Суммируем количество треугольников всех типов:

$10 \text{ (OOO)} + 20 \text{ (OOI)} + 5 \text{ (OII)} + 0 \text{ (III)} = 35$

Ответ: На рисунке изображено 35 треугольников.