Номер 7.19, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 7. Треугольник и его виды. Глава 2. Треугольники - номер 7.19, страница 44.

Условие.

7.19. Докажите, что если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся аксиомой принадлежности точек прямой и плоскости (аксиомой Паша), которая рассматривает разделение плоскости прямой.

Пусть дан треугольник $ABC$ и прямая $l$. По условию задачи, прямая $l$ не проходит ни через одну из вершин треугольника ($A$, $B$, $C$), но пересекает одну из его сторон. Без ограничения общности, предположим, что прямая $l$ пересекает сторону $AB$ в некоторой точке $M$, которая лежит между точками $A$ и $B$.

Любая прямая, в том числе и прямая $l$, делит плоскость на две открытые полуплоскости. Обозначим их $H_1$ и $H_2$. Согласно свойству разделения плоскости, если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает прямую. Если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую.

Поскольку прямая $l$ пересекает отрезок $AB$, его концы (вершины $A$ и $B$) должны лежать в разных полуплоскостях относительно прямой $l$. Пусть вершина $A$ лежит в полуплоскости $H_1$ (запишем это как $A \in H_1$), а вершина $B$ — в полуплоскости $H_2$ ($B \in H_2$).

Теперь рассмотрим положение третьей вершины треугольника, точки $C$. По условию, прямая $l$ не проходит через вершину $C$, значит, точка $C$ не может лежать на прямой $l$. Следовательно, вершина $C$ должна находиться либо в полуплоскости $H_1$, либо в полуплоскости $H_2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай 1: Вершина $C$ лежит в той же полуплоскости, что и вершина $A$.
В этом случае $C \in H_1$. Так как точки $A$ и $C$ находятся в одной полуплоскости ($H_1$), отрезок $AC$ не пересекает прямую $l$. В то же время точки $B$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях ($B \in H_2$, $C \in H_1$), следовательно, отрезок $BC$ должен пересекать прямую $l$. Таким образом, в этом случае прямая $l$ пересекает сторону $BC$.

2. Случай 2: Вершина $C$ лежит в той же полуплоскости, что и вершина $B$.
В этом случае $C \in H_2$. Так как точки $B$ и $C$ находятся в одной полуплоскости ($H_2$), отрезок $BC$ не пересекает прямую $l$. В то же время точки $A$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях ($A \in H_1$, $C \in H_2$), следовательно, отрезок $AC$ должен пересекать прямую $l$. Таким образом, в этом случае прямая $l$ пересекает сторону $AC$. На рисунке выше проиллюстрирован именно этот случай: прямая $l$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$ и сторону $AC$ в точке $N$.

В обоих возможных и взаимоисключающих случаях прямая $l$ пересекает ровно одну из двух других сторон треугольника (либо $BC$, либо $AC$). Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано. Если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она обязательно пересекает ровно одну из двух других его сторон.