Номер 7.13, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.13. На клетчатой бумаге нарисуйте:

а) остроугольный треугольник $ABC$;

б) прямоугольный треугольник $ABC$;

в) тупоугольный треугольник $ABC$, как показано на рисунке $7.10$. Проведите из вершины $C$ медиану, биссектрису и высоту.

а)

б)

Рис. $7.10$

в)

Для решения задачи сначала дадим определения медианы, высоты и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины.

• Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
• Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Теперь построим эти отрезки для каждого из заданных треугольников.

а) остроугольный треугольник ABC

Треугольник, изображенный на рисунке а), является остроугольным и равнобедренным, так как его боковые стороны $AC$ и $BC$ равны. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины, противолежащей основанию (в данном случае из вершины C к основанию AB), совпадают.

1. Медиана CM: Найдем середину стороны AB. Сторона AB имеет длину 4 клетки. Ее середина M находится на расстоянии 2 клетки от вершины A. Отрезок CM соединяет вершину C с точкой M.

2. Высота CH: Это перпендикуляр из C на прямую AB. Так как сторона AB горизонтальна, высота будет вертикальным отрезком. Основание высоты H совпадает с точкой M.

3. Биссектриса CL: Так как треугольник равнобедренный, биссектриса угла C совпадает с медианой и высотой. Точка L также совпадает с M.

На рисунке все три отрезка (медиана, высота и биссектриса) представлены одной синей пунктирной линией CP, так как точки M, H и L совпадают в одной точке P на стороне AB.

Ответ: Рисунок с проведенными медианой, высотой и биссектрисой из вершины C представлен выше. В данном случае они совпадают.

б) прямоугольный треугольник ABC

Треугольник на рисунке б) — прямоугольный, с прямым углом при вершине C ($\angle C = 90^\circ$). Проведем медиану, высоту и биссектрису из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.

1. Медиана CM: Найдем середину M гипотенузы AB. Соединим точку M с вершиной C. На рисунке медиана CM показана зеленой пунктирной линией.

2. Высота CH: Опустим перпендикуляр из вершины C на гипотенузу AB. На рисунке высота CH показана фиолетовой пунктирной линией.

3. Биссектриса CL: Проведем луч, делящий прямой угол C пополам (на два угла по $45^\circ$). Отрезок этого луча до пересечения с гипотенузой AB в точке L и будет биссектрисой. На рисунке биссектриса CL показана синей пунктирной линией.

В прямоугольном треугольнике, проведенные из вершины прямого угла, высота, биссектриса и медиана всегда располагаются в определенном порядке. Если катет $BC < AC$, то, двигаясь от катета BC к AC, мы встретим сначала высоту CH, затем биссектрису CL и медиану CM.

Ответ: Рисунок с проведенными медианой, высотой и биссектрисой из вершины C представлен выше.

в) тупоугольный треугольник ABC, как показано на рисунке 7.10

Треугольник на рисунке в) — тупоугольный, с тупым углом при вершине B. Проведем медиану, высоту и биссектрису из вершины C.

1. Медиана CM: Найдем середину M стороны AB. Сторона AB имеет длину 3 клетки, ее середина M находится на расстоянии 1.5 клетки от A. Соединим точку M с вершиной C. На рисунке медиана CM показана зеленой пунктирной линией.

2. Высота CH: Это перпендикуляр из C на прямую, содержащую сторону AB. Так как угол B тупой, основание высоты H будет лежать на продолжении стороны AB за точку B. На рисунке высота CH показана фиолетовой пунктирной линией. Продолжение стороны AB показано черной пунктирной линией.

3. Биссектриса CL: Проведем биссектрису угла ACB. Она пересечет сторону AB в точке L. По свойству биссектрисы, она разделит сторону AB в отношении, равном отношению прилежащих сторон $AC$ и $BC$. На рисунке биссектриса CL показана синей пунктирной линией.

Ответ: Рисунок с проведенными медианой, высотой и биссектрисой из вершины C представлен выше.