Номер 7.6, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.6. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольники, стороны которых равны отрезкам, изображенным на рисунке 7.6.

а)

б)

Рис. 7.6

Для решения задачи необходимо сначала определить длины заданных отрезков, используя теорему Пифагора. Затем, для каждого случая, нужно попытаться построить треугольник с вершинами в узлах сетки. Если это невозможно, следует использовать классический метод построения с помощью циркуля и линейки, чтобы нарисовать искомый треугольник.

а) 1. Определение длин сторон. Примем сторону клетки за единицу длины. На рисунке 7.6 а) изображены три отрезка. Их длины можно найти по теореме Пифагора, рассматривая их как гипотенузы прямоугольных треугольников, катеты которых лежат на линиях сетки.

• Длина первого отрезка (верхнего), который смещен на 2 клетки по горизонтали и 1 по вертикали, равна $a = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
• Длина второго отрезка (среднего), который смещен на 3 клетки по горизонтали и 1 по вертикали, равна $b = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$.
• Длина третьего отрезка (нижнего), который смещен на 3 клетки по горизонтали, равна $c = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.

Проверим неравенство треугольника: $\sqrt{5} + 3 \approx 2.24 + 3 = 5.24 > \sqrt{10} \approx 3.16$. Все три неравенства выполняются, значит, такой треугольник существует.

2. Проверка возможности построения с вершинами в узлах сетки. Чтобы треугольник можно было построить с вершинами в узлах сетки, векторы его сторон должны иметь целочисленные координаты. Пусть векторы сторон, образующие треугольник при последовательном соединении, — это $\vec{v_a}$, $\vec{v_b}$, $\vec{v_c}$. Тогда их сумма должна быть равна нулю: $\vec{v_a} + \vec{v_b} + \vec{v_c} = \vec{0}$. Если разместить две стороны $\vec{v_a}$ и $\vec{v_c}$ так, чтобы они выходили из одной вершины, то косинус угла $\gamma$ между ними можно вычислить по теореме косинусов:$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\gamma \implies \cos\gamma = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.Скалярное произведение векторов $\vec{v_a}$ и $\vec{v_c}$ равно $\vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = |\vec{v_a}| |\vec{v_c}| \cos\gamma = ac \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$.Подставим наши значения: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = \frac{5 + 9 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.Возможные целочисленные векторы для стороны $a=\sqrt{5}$ — это $(\pm 1, \pm 2)$ и $(\pm 2, \pm 1)$. Для стороны $c=3$ — $(\pm 3, 0)$ и $(0, \pm 3)$.Пусть $\vec{v_a}=(x_a, y_a)$ и $\vec{v_c}=(x_c, y_c)$. Их скалярное произведение $x_a x_c + y_a y_c$ должно быть равно 2.Если выбрать $\vec{v_c} = (\pm 3, 0)$, то получим $\pm 3x_a = 2$, откуда $x_a = \pm 2/3$. Это не целое число.Если выбрать $\vec{v_c} = (0, \pm 3)$, то получим $\pm 3y_a = 2$, откуда $y_a = \pm 2/3$. Это также не целое число.Следовательно, невозможно построить данный треугольник так, чтобы все его вершины находились в узлах сетки.

3. Построение. Треугольник можно построить, используя метод циркуля и линейки. Для этого нарисуем на клетчатой бумаге один из отрезков, например, отрезок длиной 3, с концами в точках A и B. Затем из точки A проведем окружность радиусом $\sqrt{5}$, а из точки B — окружность радиусом $\sqrt{10}$. Точка пересечения этих окружностей C будет третьей вершиной треугольника.

Ответ:

б) 1. Определение длин сторон. Аналогично пункту а), найдем длины сторон для рисунка 7.6 б).

• Длина первого отрезка (верхнего) $a = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
• Длина второго отрезка (среднего) $b = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
• Длина третьего отрезка (нижнего) $c = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$.

Неравенство треугольника выполняется: $\sqrt{13} + \sqrt{17} \approx 3.61 + 4.12 = 7.73 > \sqrt{26} \approx 5.1$.

2. Проверка возможности построения с вершинами в узлах сетки. Рассчитаем скалярное произведение векторов сторон $\vec{v_a}$ и $\vec{v_b}$, выходящих из одной вершины:$\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} = \frac{13 + 17 - 26}{2} = \frac{4}{2} = 2$.Возможные целочисленные векторы для стороны $a=\sqrt{13}$ — $(\pm 2, \pm 3), (\pm 3, \pm 2)$. Для стороны $b=\sqrt{17}$ — $(\pm 1, \pm 4), (\pm 4, \pm 1)$.Пусть $\vec{v_a}=(x_a, y_a)$ и $\vec{v_b}=(x_b, y_b)$. Проверим, может ли их скалярное произведение $x_a x_b + y_a y_b$ быть равным 2.Рассмотрим случай $\vec{v_a}=(\pm 3, \pm 2)$:

• Если $\vec{v_b}=(\pm 1, \pm 4)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 3 \cdot \pm 1) + (\pm 2 \cdot \pm 4) = \pm 3 \pm 8$. Ни одна из комбинаций не дает 2.
• Если $\vec{v_b}=(\pm 4, \pm 1)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 3 \cdot \pm 4) + (\pm 2 \cdot \pm 1) = \pm 12 \pm 2$. Ни одна из комбинаций не дает 2.

• Если $\vec{v_b}=(\pm 1, \pm 4)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 2 \cdot \pm 1) + (\pm 3 \cdot \pm 4) = \pm 2 \pm 12$. Ни одна из комбинаций не дает 2.
• Если $\vec{v_b}=(\pm 4, \pm 1)$, то скалярное произведение будет комбинацией $(\pm 2 \cdot \pm 4) + (\pm 3 \cdot \pm 1) = \pm 8 \pm 3$. Ни одна из комбинаций не дает 2.

3. Построение. Построение выполняется аналогично пункту а), с помощью циркуля и линейки. Так как ни одна из сторон не имеет целочисленной длины, ни одну из сторон нельзя расположить ровно по линиям сетки. Однако, сторону длиной $\sqrt{26}$ можно представить вектором $(5,1)$. Разместим эту сторону между точками A=(0,0) и B=(5,1). Затем найдем третью вершину C как пересечение окружностей с центром в A радиусом $\sqrt{13}$ и с центром в B радиусом $\sqrt{17}$.

Ответ: