Страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.12. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник $ABC$ (рис. 7.9) и изобразите его высоту:

а) $CD$;

б) $AD$.

а)

б)

Рис. 7.9

а) CD

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В данном случае, нам нужно построить высоту $CD$ из вершины $C$ на сторону $AB$. Это означает, что отрезок $CD$ должен быть перпендикулярен прямой $AB$, то есть $CD \perp AB$.

Чтобы построить перпендикуляр на клетчатой бумаге, рассмотрим "шаги" по клеткам для стороны $AB$. От точки $A$ до точки $B$ мы смещаемся на 4 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Для построения перпендикулярной линии из точки $C$ мы должны смещаться на 1 клетку вправо и 4 клетки вниз (или на 1 клетку влево и 4 клетки вверх). Проведем из точки $C$ прямую с таким наклоном до пересечения с прямой $AB$. Точка пересечения и будет являться точкой $D$, а отрезок $CD$ — искомой высотой.

Ответ:

б) AD

В этом случае, нам нужно построить высоту $AD$ из вершины $A$ на сторону $BC$. Это означает, что отрезок $AD$ должен быть перпендикулярен прямой $BC$, то есть $AD \perp BC$.

Рассмотрим "шаги" по клеткам для стороны $BC$. От точки $B$ до точки $C$ мы смещаемся на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Это соответствует движению по диагонали клеток. Линия, перпендикулярная такой диагонали, также будет идти по диагонали, но в перпендикулярном направлении. Для построения высоты из точки $A$ мы должны смещаться на 1 клетку вправо и 1 клетку вверх. Проведем из точки $A$ прямую с таким наклоном до пересечения с прямой $BC$. Точка пересечения и будет точкой $D$, а отрезок $AD$ — искомой высотой.

Ответ:

7.13. На клетчатой бумаге нарисуйте:

а) остроугольный треугольник $ABC$;

б) прямоугольный треугольник $ABC$;

в) тупоугольный треугольник $ABC$, как показано на рисунке $7.10$. Проведите из вершины $C$ медиану, биссектрису и высоту.

а)

б)

Рис. $7.10$

в)

Для решения задачи сначала дадим определения медианы, высоты и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины.

• Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
• Биссектриса — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Теперь построим эти отрезки для каждого из заданных треугольников.

а) остроугольный треугольник ABC

Треугольник, изображенный на рисунке а), является остроугольным и равнобедренным, так как его боковые стороны $AC$ и $BC$ равны. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины, противолежащей основанию (в данном случае из вершины C к основанию AB), совпадают.

1. Медиана CM: Найдем середину стороны AB. Сторона AB имеет длину 4 клетки. Ее середина M находится на расстоянии 2 клетки от вершины A. Отрезок CM соединяет вершину C с точкой M.

2. Высота CH: Это перпендикуляр из C на прямую AB. Так как сторона AB горизонтальна, высота будет вертикальным отрезком. Основание высоты H совпадает с точкой M.

3. Биссектриса CL: Так как треугольник равнобедренный, биссектриса угла C совпадает с медианой и высотой. Точка L также совпадает с M.

На рисунке все три отрезка (медиана, высота и биссектриса) представлены одной синей пунктирной линией CP, так как точки M, H и L совпадают в одной точке P на стороне AB.

Ответ: Рисунок с проведенными медианой, высотой и биссектрисой из вершины C представлен выше. В данном случае они совпадают.

б) прямоугольный треугольник ABC

Треугольник на рисунке б) — прямоугольный, с прямым углом при вершине C ($\angle C = 90^\circ$). Проведем медиану, высоту и биссектрису из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.

1. Медиана CM: Найдем середину M гипотенузы AB. Соединим точку M с вершиной C. На рисунке медиана CM показана зеленой пунктирной линией.

2. Высота CH: Опустим перпендикуляр из вершины C на гипотенузу AB. На рисунке высота CH показана фиолетовой пунктирной линией.

3. Биссектриса CL: Проведем луч, делящий прямой угол C пополам (на два угла по $45^\circ$). Отрезок этого луча до пересечения с гипотенузой AB в точке L и будет биссектрисой. На рисунке биссектриса CL показана синей пунктирной линией.

В прямоугольном треугольнике, проведенные из вершины прямого угла, высота, биссектриса и медиана всегда располагаются в определенном порядке. Если катет $BC < AC$, то, двигаясь от катета BC к AC, мы встретим сначала высоту CH, затем биссектрису CL и медиану CM.

Ответ: Рисунок с проведенными медианой, высотой и биссектрисой из вершины C представлен выше.

в) тупоугольный треугольник ABC, как показано на рисунке 7.10

Треугольник на рисунке в) — тупоугольный, с тупым углом при вершине B. Проведем медиану, высоту и биссектрису из вершины C.

1. Медиана CM: Найдем середину M стороны AB. Сторона AB имеет длину 3 клетки, ее середина M находится на расстоянии 1.5 клетки от A. Соединим точку M с вершиной C. На рисунке медиана CM показана зеленой пунктирной линией.

2. Высота CH: Это перпендикуляр из C на прямую, содержащую сторону AB. Так как угол B тупой, основание высоты H будет лежать на продолжении стороны AB за точку B. На рисунке высота CH показана фиолетовой пунктирной линией. Продолжение стороны AB показано черной пунктирной линией.

3. Биссектриса CL: Проведем биссектрису угла ACB. Она пересечет сторону AB в точке L. По свойству биссектрисы, она разделит сторону AB в отношении, равном отношению прилежащих сторон $AC$ и $BC$. На рисунке биссектриса CL показана синей пунктирной линией.

Ответ: Рисунок с проведенными медианой, высотой и биссектрисой из вершины C представлен выше.

7.14. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 17 см. Сторона $AC$ вдвое больше стороны $AB$, сторона $BC$ на 10 см меньше стороны $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Для того чтобы найти периметр треугольника $ABC$, необходимо сначала определить длины всех его сторон: $AB$, $AC$ и $BC$.

1. Из условия задачи нам известно, что длина стороны $AB$ равна 17 см.

$AB = 17$ см.

2. Сторона $AC$ вдвое больше стороны $AB$. Чтобы найти ее длину, нужно умножить длину стороны $AB$ на 2:

$AC = 2 \cdot AB = 2 \cdot 17 = 34$ см.

3. Сторона $BC$ на 10 см меньше стороны $AC$. Чтобы найти ее длину, нужно из длины стороны $AC$ вычесть 10 см:

$BC = AC - 10 = 34 - 10 = 24$ см.

4. Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Сложим полученные значения:

$P = AB + AC + BC = 17 + 34 + 24$

$P = 51 + 24 = 75$ см.

Ответ: 75 см.

7.15. Периметр треугольника равен 48 см, одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 10 см.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, периметр треугольника $P$ равен 48 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

$P = a + b + c = 48$ см.

Одна из сторон, пусть это будет сторона $a$, равна 18 см. Найдем сумму двух других сторон, $b$ и $c$:

$b + c = P - a = 48 - 18 = 30$ см.

Также по условию известно, что разность этих двух сторон равна 10 см. Предположим, что $b$ — это большая из двух неизвестных сторон. Тогда мы можем записать:

$b - c = 10$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $b$ и $c$:

$\begin{cases} b + c = 30 \\ b - c = 10 \end{cases}$

Для решения системы сложим первое и второе уравнения:

$(b + c) + (b - c) = 30 + 10$

$2b = 40$

$b = \frac{40}{2} = 20$ см.

Зная значение $b$, найдем $c$, подставив $b = 20$ в первое уравнение системы ($b + c = 30$):

$20 + c = 30$

$c = 30 - 20 = 10$ см.

Итак, две искомые стороны треугольника равны 20 см и 10 см.

Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника. Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны:

$18 + 10 = 28 > 20$ (Верно)

$18 + 20 = 38 > 10$ (Верно)

$10 + 20 = 30 > 18$ (Верно)

Так как все неравенства выполняются, такой треугольник существует.

Ответ: две другие стороны равны 20 см и 10 см.

16 см.

7.16. Периметр треугольника равен 54 см. Найдите его стороны, если они относятся как $2:3:4$.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 54 см. $P = a + b + c = 54$ см.

Стороны треугольника относятся как $2:3:4$. Это означает, что их длины можно представить через общий множитель $x$. Пусть первая сторона $a = 2x$, вторая сторона $b = 3x$, а третья сторона $c = 4x$.

Подставим эти выражения в формулу периметра и составим уравнение: $2x + 3x + 4x = 54$

Сложим все части с $x$: $9x = 54$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 9: $x = \frac{54}{9}$ $x = 6$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти длины каждой стороны треугольника: Первая сторона: $a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см. Вторая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см. Третья сторона: $c = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Проверим решение: $12 + 18 + 24 = 54$ см. Периметр сходится. Отношение сторон $12:18:24$ после сокращения на 6 дает $2:3:4$. Условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 12 см, 18 см и 24 см.

7.17. По периметру садового участка в форме треугольника нужно посадить кусты смородины на расстояние 2 м друг от друга. Сколько всего кустов можно посадить, если длины сторон участка равны 16 м, 24 м и 20 м?

Чтобы определить, сколько всего кустов смородины можно посадить, сначала необходимо найти общую длину, по которой будут производиться посадки. Эта длина равна периметру садового участка, имеющего форму треугольника.

Периметр ($P$) треугольника — это сумма длин всех его сторон. Согласно условию, длины сторон участка равны 16 м, 24 м и 20 м.

Вычислим периметр:

$P = 16 \text{ м} + 24 \text{ м} + 20 \text{ м} = 40 \text{ м} + 20 \text{ м} = 60 \text{ м}$

Теперь, зная общую длину периметра, можно рассчитать количество кустов. По условию, кусты сажают на расстоянии 2 м друг от друга. Поскольку посадка производится вдоль замкнутого контура (периметра), общее количество кустов ($N$) можно найти, разделив длину периметра на расстояние между кустами.

Рассчитаем количество кустов:

$N = \frac{P}{\text{расстояние}} = \frac{60 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 30$

Таким образом, по всему периметру участка можно посадить 30 кустов смородины.

Ответ: 30 кустов.

7.18. Сколько треугольников изображено на рисунке 7.11?

Рис. 7.11

Для решения этой задачи необходимо систематически подсчитать все треугольники, изображенные на рисунке. Фигура представляет собой правильный пятиугольник со всеми его диагоналями, которые образуют пентаграмму (звезду). Всего на рисунке 10 вершин: 5 внешних (вершины пятиугольника) и 5 внутренних (точки пересечения диагоналей).

Чтобы избежать ошибок и двойного счета, будем считать треугольником фигуру, состоящую из трех вершин (из числа 10 имеющихся), соединенных отрезками, которые являются частью линий, изображенных на рисунке.

Обозначим 5 внешних вершин буквами A, B, C, D, E (по часовой стрелке, начиная с верхней) и 5 внутренних вершин буквами F, G, H, I, J, как показано на рисунке ниже.

Внутренние вершины являются следующими пересечениями диагоналей: $F = AC \cap BD$, $G = BD \cap CE$, $H = CE \cap DA$, $I = DA \cap EB$, $J = EB \cap AC$.

Классифицируем все треугольники по типам вершин, из которых они состоят (O - внешняя, I - внутренняя).

1. Треугольники с 3 внешними вершинами (тип OOO)

Любые три из пяти внешних вершин (A, B, C, D, E) образуют треугольник, так как отрезки, их соединяющие, либо являются сторонами пятиугольника, либо его диагоналями, и все они изображены на рисунке. Количество таких треугольников равно числу сочетаний из 5 по 3:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

Примеры: $\Delta ABC$, $\Delta ACE$. Всего таких треугольников 10.

2. Треугольники с 2 внешними и 1 внутренней вершиной (тип OOI)

Разобьем этот случай на два подслучая:

a) Внешние вершины являются смежными (например, A и B). Третья вершина K (внутренняя) должна быть соединена с A и B нарисованными отрезками. Для пары A, B проверим все внутренние вершины:

• K=F: отрезки AF (на диагонали AC) и BF (на диагонали BD) нарисованы. $\Delta ABF$ существует.
• K=J: отрезки AJ (на AC) и BJ (на EB) нарисованы. $\Delta ABJ$ существует.
• K=I: отрезки AI (на AD) и BI (на EB) нарисованы. $\Delta ABI$ существует.
• K=G: отрезок BG (на BD) нарисован, но AG не нарисован. Не треугольник.
• K=H: отрезок AH (на AD) нарисован, но BH не нарисован. Не треугольник.

b) Внешние вершины не являются смежными (например, A и C). Они соединены диагональю. Внутренняя вершина K должна быть соединена с A и C нарисованными отрезками. Для пары A, C:

• Вершины F и J лежат на самой диагонали AC, поэтому треугольников не образуют.
• K=H: отрезки AH (на AD) и CH (на CE) нарисованы. $\Delta ACH$ существует.
• K=G: отрезок CG (на CE) нарисован, но AG не нарисован. Не треугольник.
• K=I: отрезок AI (на AD) нарисован, но CI не нарисован. Не треугольник.

Всего треугольников типа OOI: $15 + 5 = 20$. Всего таких треугольников 20.

3. Треугольники с 1 внешней и 2 внутренними вершинами (тип OII)

Рассмотрим внешнюю вершину A и две внутренние K1, K2. Для существования треугольника $\Delta AK_1K_2$ необходимо, чтобы отрезки $AK_1$, $AK_2$ и $K_1K_2$ были нарисованы. Это означает, что $K_1$ и $K_2$ должны лежать на одной из диагоналей, не проходящей через A, а также $K_1$ и $K_2$ должны быть соединены с A нарисованными отрезками.

Рассмотрим вершину A.

• Внутренние вершины J и I лежат на диагонали EB. Отрезок AJ (на AC), AI (на AD) и JI (на EB) нарисованы. Следовательно, $\Delta AJI$ существует.

Других треугольников этого типа нет. Например, для вершины A и внутренних вершин F,G, лежащих на диагонали BD, отрезок AG не нарисован.Всего таких треугольников 5.

4. Треугольники с 3 внутренними вершинами (тип III)

Рассмотрим любые три внутренние вершины, например, F, G, H.Отрезок FG лежит на диагонали BD. Отрезок GH лежит на диагонали CE. Однако отрезок FH не является частью ни одной из нарисованных линий. Следовательно, $\Delta FGH$ не является треугольником в данной фигуре. Это справедливо для любой тройки внутренних вершин.

Всего таких треугольников 0.

Итоговый подсчет

Суммируем количество треугольников всех типов:

$10 \text{ (OOO)} + 20 \text{ (OOI)} + 5 \text{ (OII)} + 0 \text{ (III)} = 35$

Ответ: На рисунке изображено 35 треугольников.