Номер 6.16, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.16. Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?

6.17. Найди все углы $AOD$, $AOC$, $AOB$, $BOC$, $BOD$, $COD$.

Для решения этой задачи рассмотрим две пересекающиеся прямые, которые образуют пару вертикальных углов.

Пусть прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. При этом образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOC$ и $\angle BOD$, а также $\angle AOD$ и $\angle COB$. Рассмотрим первую пару.

По свойству вертикальных углов, они равны. Обозначим величину углов $\angle AOC$ и $\angle BOD$ через $\alpha$:
$\angle AOC = \angle BOD = \alpha$.

Проведем биссектрису $OE$ угла $\angle AOC$ и биссектрису $OF$ угла $\angle BOD$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла:
$\angle AOE = \angle EOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{\alpha}{2}$
$\angle BOF = \angle FOD = \frac{\angle BOD}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Нам необходимо найти угол между этими биссектрисами, то есть $\angle EOF$. Этот угол можно найти как сумму трех углов, расположенных последовательно: $\angle EOC$, $\angle COB$ и $\angle BOF$.
$\angle EOF = \angle EOC + \angle COB + \angle BOF$

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OB$ образуют прямую $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$
Следовательно, $\angle COB = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - \alpha$.

Теперь подставим значения углов $\angle EOC$, $\angle COB$ и $\angle BOF$ в формулу для $\angle EOF$:
$\angle EOF = \frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \alpha) + \frac{\alpha}{2}$

Упростим полученное выражение:
$\angle EOF = \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + 180^\circ - \alpha = \alpha + 180^\circ - \alpha = 180^\circ$.

Таким образом, угол между биссектрисами вертикальных углов составляет $180^\circ$. Это означает, что биссектрисы двух вертикальных углов являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой.

Ответ: $180^\circ$.