Номер 6.25, страница 36 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.25. Докажите, что биссектриса смежных углов образует прямой угол.

Для доказательства утверждения введем обозначения и воспользуемся определениями смежных углов и биссектрисы угла.

Пусть даны два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$. У них общая вершина $O$ и общая сторона $OC$. Стороны $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой $AB$, образуя развернутый угол $\angle AOB = 180^\circ$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$

Проведем луч $OM$ — биссектрису угла $\angle AOC$, и луч $ON$ — биссектрису угла $\angle BOC$. Ниже представлена иллюстрация.

Согласно определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно:

$\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC$

$\angle NOC = \frac{1}{2} \angle BOC$

Угол, образованный биссектрисами $OM$ и $ON$, — это угол $\angle MON$. Он равен сумме углов $\angle MOC$ и $\angle NOC$, так как луч $OC$ проходит между лучами $OM$ и $ON$:

$\angle MON = \angle MOC + \angle NOC$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle MOC$ и $\angle NOC$:

$\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle MON = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOC + \angle BOC$ составляет $180^\circ$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\angle MON = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Угол, величина которого равна $90^\circ$, является прямым углом. Таким образом, доказано, что биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

Ответ: Угол между биссектрисами смежных углов равен $90^\circ$, то есть является прямым, что и требовалось доказать.