Номер 4.17, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. На сколько частей разбивают плоскость $n$ прямых, пересекающихся в одной точке?

Для решения этой задачи рассмотрим несколько простых случаев, чтобы выявить закономерность. Пусть $L(n)$ — это количество частей, на которые $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, делят плоскость.

При $n=1$: одна прямая делит плоскость на 2 части. Таким образом, $L(1)=2$.

При $n=2$: две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части (четыре угла). Таким образом, $L(2)=4$.

При $n=3$: три прямые, пересекающиеся в одной точке, делят плоскость на 6 частей. Таким образом, $L(3)=6$.

Из рассмотренных случаев видна закономерность: количество частей вдвое больше количества прямых. Можно выдвинуть гипотезу, что $L(n) = 2n$.

Докажем эту гипотезу методом математической индукции.

База индукции: При $n=1$ одна прямая делит плоскость на 2 части, и наша формула дает $L(1)=2 \times 1 = 2$. Утверждение верно.

Индукционное предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $k$ прямых, пересекающихся в одной точке, делят плоскость на $L(k)=2k$ частей.

Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для $k+1$ прямых. Возьмем систему из $k$ прямых, которые по предположению делят плоскость на $2k$ частей. Эти части являются угловыми секторами с вершиной в общей точке пересечения. Проведем $(k+1)$-ю прямую через эту же точку. Эта новая прямая, проходя через общую точку, пересечет две из уже существующих областей (а именно, два вертикальных угла) и разделит каждую из них на две новые. Таким образом, общее количество частей увеличится на 2.

Следовательно, новое количество частей будет $L(k+1) = L(k) + 2$. Используя индукционное предположение $L(k)=2k$, мы получаем: $L(k+1) = 2k + 2 = 2(k+1)$. Формула верна и для $k+1$.

По принципу математической индукции, мы доказали, что $n$ прямых, пересекающихся в одной точке, разбивают плоскость на $2n$ частей.

Ответ: $2n$.