Номер 4.11, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.11. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости, две другие — в другой полуплоскости относительно этой прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков:
а) пересекает прямую;
б) не пересекает прямую? Сделайте соответствующий рисунок.

Сначала определим общее количество отрезков. У нас есть 5 точек, и каждая пара точек соединена отрезком. Количество таких отрезков равно числу сочетаний из 5 по 2, что вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=5$ и $k=2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ отрезков.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Обозначим одну полуплоскость как П₁, а другую как П₂. По условию, в П₁ находятся 3 точки, а в П₂ — 2 точки.

Основное правило, которое мы будем использовать: отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой.

а) пересекает прямую

Чтобы отрезок пересекал прямую, один его конец должен лежать в полуплоскости П₁ (где 3 точки), а другой — в полуплоскости П₂ (где 2 точки). Чтобы найти количество таких отрезков, нужно умножить количество точек в одной полуплоскости на количество точек в другой.

Количество пересекающих отрезков = (количество точек в П₁) × (количество точек в П₂) = $3 \times 2 = 6$.
Ответ: 6 отрезков.

б) не пересекает прямую

Чтобы отрезок не пересекал прямую, оба его конца должны лежать в одной и той же полуплоскости. Мы можем найти это количество двумя способами.

Способ 1: Прямой подсчет.

1. Количество отрезков, оба конца которых лежат в П₁. Здесь 3 точки, поэтому количество отрезков равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ отрезка.

2. Количество отрезков, оба конца которых лежат в П₂. Здесь 2 точки, поэтому количество отрезков равно числу сочетаний из 2 по 2:

$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$ отрезок.

Общее количество непересекающих отрезков равно сумме этих двух значений: $3 + 1 = 4$.

Способ 2: Вычитание из общего числа.

Мы знаем общее количество отрезков (10) и количество пересекающих отрезков (6). Тогда количество непересекающих отрезков равно их разности:

10 (всего) - 6 (пересекающих) = 4 (непересекающих).

Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 4 отрезка.

Сделайте соответствующий рисунок.

На рисунке ниже показана прямая, разделяющая плоскость на две полуплоскости. В верхней полуплоскости расположены 3 точки, в нижней — 2 точки. Отрезки, пересекающие прямую, показаны красным цветом (их 6), а отрезки, не пересекающие прямую, — синим цветом (их 4).