Номер 1.5, страница 8 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.5. Сколько прямых изображено на рисунке 1.5? Сколько у них точек попарных пересечений?

а)

б)

Рис. 1.5

а) На рисунке а) изображена фигура, которая образована 5 прямыми линиями. Эта фигура является частным случаем пентаграммы.

Чтобы найти количество точек попарных пересечений, можно посчитать их непосредственно на рисунке. Мы видим 5 точек пересечения, которые образуют вершины внутреннего пятиугольника, и 5 точек пересечения, образующих внешние «вершины» звезды. Всего получается 10 точек пересечения.

Также можно применить комбинаторную формулу. Если $n$ прямых расположены в так называемом общем положении (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке), то число точек их попарных пересечений равно числу сочетаний из $n$ по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

В данном случае $n=5$. Визуальный анализ показывает, что прямые на рисунке находятся в общем положении. Следовательно, число точек пересечения равно:

$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Ответ: 5 прямых, 10 точек пересечения.

б) На рисунке б) изображена фигура, которая образована 6 прямыми линиями.

Для нахождения числа точек пересечения можно посчитать их напрямую на исходном рисунке. В центре фигуры есть одна точка, где пересекаются сразу три прямые. Вокруг центра расположены 6 точек, которые образуют вершины внутреннего шестиугольника. И еще 6 точек образуют внешние вершины фигуры. Итого: $1 + 6 + 6 = 13$ точек пересечения.

Другой способ — использовать формулу для максимального числа пересечений и внести поправку. Максимальное число точек пересечения для $n=6$ прямых (в общем положении) равно:

$C_6^2 = \frac{6 \cdot (6-1)}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$

Однако на рисунке б) прямые не находятся в общем положении, так как три из них (горизонтальная, почти вертикальная и одна из наклонных) пересекаются в одной центральной точке. Три прямые, расположенные в общем положении, дали бы $C_3^2 = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ точки пересечения. В нашем же случае они дают только одну общую точку. Таким образом, мы «теряем» $3 - 1 = 2$ точки пересечения по сравнению с максимально возможным количеством.

Итоговое число точек пересечения равно: $15 - 2 = 13$.

Ответ: 6 прямых, 13 точек пересечения.