Номер 1.14, страница 9 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1.14. Сколько прямых можно провести через различные пары из:
а) 3 точек;
б) 4 точек;
в) 5 точек;
г)*$n$ точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Для решения этой задачи необходимо найти количество уникальных пар точек, которые можно составить из заданного числа точек. Поскольку через любые две различные точки можно провести только одну прямую, и по условию никакие три точки не лежат на одной прямой, то количество прямых будет равно количеству сочетаний из $n$ точек по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае мы выбираем пары точек, поэтому $k=2$. Формула упрощается до:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Теперь применим эту формулу для каждого из подпунктов.

Для $n=3$ количество прямых вычисляется как число сочетаний из 3 по 2.

$C_3^2 = \frac{3 \cdot (3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$

Можно провести 3 прямые.

Ответ: 3

Для $n=4$ количество прямых вычисляется как число сочетаний из 4 по 2.

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Можно провести 6 прямых.

Ответ: 6

Для $n=5$ количество прямых вычисляется как число сочетаний из 5 по 2.

$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Можно провести 10 прямых.

Ответ: 10

В общем случае для $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, количество прямых равно числу способов выбрать 2 точки из $n$. Это и есть число сочетаний из $n$ по 2.

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Эта формула позволяет найти ответ для любого количества точек $n$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$