Страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.11. На рисунке 9.12 $BH \perp AC$, $DP \perp AC$, $AH = CP$ и $\angle BAC = \angle ACD$. Найдите равные треугольники.

Рис. 9.12

Для того чтобы найти равные треугольники, проанализируем данные из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $BHA$ и $DPC$.

Согласно условию, $BH \perp AC$ и $DP \perp AC$. Это означает, что треугольники $BHA$ и $DPC$ являются прямоугольными, и их углы $\angle BHA$ и $\angle DPC$ равны $90^\circ$.

По условию задачи, длины отрезков $AH$ и $CP$ равны: $AH = CP$.

Также по условию $\angle BAC = \angle ACD$. Рассмотрим углы $\angle BAH$ и $\angle PCD$. Угол $\angle BAH$ является смежным с углом $\angle BAC$, так как точки $H, A, C$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle BAH = 180^\circ - \angle BAC$. Аналогично, угол $\angle PCD$ является смежным с углом $\angle ACD$, так как точки $A, C, P$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle PCD = 180^\circ - \angle ACD$. Поскольку $\angle BAC = \angle ACD$, то и $180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \angle ACD$, что означает $\angle BAH = \angle PCD$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $BHA$ и $DPC$. У них:

• $\angle BAH = \angle PCD$ (доказано выше)
• $AH = CP$ (по условию)
• $\angle BHA = \angle DPC = 90^\circ$ (по условию)

2. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$.

Из доказанного равенства $\triangle BHA = \triangle DPC$ следует равенство их соответствующих сторон. В частности, гипотенузы этих треугольников равны: $AB = CD$.

Теперь сравним треугольники $ABC$ и $CDA$. У них:

• $AB = CD$ (доказано выше)
• $\angle BAC = \angle ACD$ (по условию)
• $AC$ — общая сторона

Ответ: Равными являются две пары треугольников: $\triangle BHA = \triangle DPC$ и $\triangle ABC = \triangle CDA$.