Страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. На сторонах правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD$, $BE$ и $CF$. Точки $D$, $E$ и $F$ соединены отрезками (рис. 10.13). Докажите, что треугольник $DEF$ правильный.

Рис. 10.13

Для доказательства того, что треугольник $DEF$ является правильным, нам нужно показать, что все его стороны равны, то есть $DE = EF = FD$.

Рассмотрим три треугольника, образовавшихся в углах исходного треугольника $ABC$: $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$.

1. Анализ исходных данных.
По условию, треугольник $ABC$ — правильный. Это означает, что все его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$).
Также по условию на сторонах отложены равные отрезки $AD = BE = CF$.

2. Сравнение треугольников $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$.
Мы будем использовать первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Найдем длины сторон этих трех треугольников, лежащих на сторонах треугольника $ABC$.
Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$, то есть $AB = BC = CA = a$.
Пусть длина равных отрезков равна $x$, то есть $AD = BE = CF = x$.

• Для треугольника $\triangle ADF$:
  Сторона $AD = x$ (по условию).
  Точка $F$ лежит на стороне $AC$, значит, длина стороны $AF$ равна $AF = AC - CF = a - x$.
  Угол между этими сторонами: $\angle A = 60^\circ$.
• Для треугольника $\triangle BED$:
  Сторона $BE = x$ (по условию).
  Точка $D$ лежит на стороне $AB$, значит, длина стороны $BD$ равна $BD = AB - AD = a - x$.
  Угол между этими сторонами: $\angle B = 60^\circ$.
• Для треугольника $\triangle CFE$:
  Сторона $CF = x$ (по условию).
  Точка $E$ лежит на стороне $BC$, значит, длина стороны $CE$ равна $CE = BC - BE = a - x$.
  Угол между этими сторонами: $\angle C = 60^\circ$.

3. Доказательство равенства треугольников.
Сравнивая три треугольника, мы видим, что:
$AD = BE = CF = x$
$AF = BD = CE = a - x$
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$
Таким образом, треугольники $\triangle ADF$, $\triangle BED$ и $\triangle CFE$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
$\triangle ADF \cong \triangle BED \cong \triangle CFE$.

4. Вывод.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Третьи стороны этих треугольников — это $FD$, $DE$ и $EF$. Следовательно:
$FD = DE = EF$.
Поскольку все стороны треугольника $DEF$ равны, он является правильным (равносторонним).

Ответ: Что и требовалось доказать.

10.10. На продолжении сторон правильного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ (рис. 10.14). Докажите, что треугольник $A_1B_1C_1$ правильный.

Рис. 10.14

Доказательство.
По условию, треугольник $ABC$ — правильный. Это означает, что все его стороны и углы равны:
$AB = BC = CA$
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$
На продолжениях сторон отложены равные отрезки $AA_1 = BB_1 = CC_1$.
Рассмотрим три треугольника: $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$ и $\triangle C_1AA_1$. Докажем, что они равны.
Найдем стороны и углы этих треугольников.
1. Углы $\angle C_1CA$, $\angle A_1AB$ и $\angle B_1BC$ являются смежными с углами правильного треугольника $ABC$. Следовательно, каждый из них равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$\angle C_1CA = \angle A_1AB = \angle B_1BC = 120^\circ$.
2. Рассмотрим треугольники $\triangle C_1CA$, $\triangle A_1AB$ и $\triangle B_1BC$.

• Сторона $CA = AB = BC$ (так как $\triangle ABC$ правильный).
• Сторона $CC_1 = AA_1 = BB_1$ (по условию).
• Угол между этими сторонами $\angle C_1CA = \angle A_1AB = \angle B_1BC = 120^\circ$.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle C_1CA \cong \triangle A_1AB \cong \triangle B_1BC$.
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов:
$C_1A = A_1B = B_1C$
$\angle AC_1C = \angle BA_1A = \angle CB_1B$ и $\angle C_1AC = \angle A_1BA = \angle B_1CB$.
3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle C_1A_1A$, $\triangle A_1B_1B$ и $\triangle B_1C_1C$. Сравним их по первому признаку равенства (СУС).

• $C_1A = A_1B = B_1C$ (доказано в п. 2).
• $AA_1 = BB_1 = CC_1$ (по условию).
• Найдем углы между этими сторонами: $\angle C_1AA_1$, $\angle A_1BB_1$, $\angle B_1CC_1$.

Точки $C, A, A_1$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle C_1AA_1$ является смежным с углом $\angle C_1AC$. $\angle C_1AA_1 = 180^\circ - \angle C_1AC$.
Аналогично, $\angle A_1BB_1 = 180^\circ - \angle A_1BA$ и $\angle B_1CC_1 = 180^\circ - \angle B_1CB$.
Так как из п. 2 мы знаем, что $\angle C_1AC = \angle A_1BA = \angle B_1CB$, то и смежные с ними углы равны:
$\angle C_1AA_1 = \angle A_1BB_1 = \angle B_1CC_1$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle C_1A_1A$, $\triangle A_1B_1B$ и $\triangle B_1C_1C$ две стороны и угол между ними соответственно равны. Следовательно, $\triangle C_1A_1A \cong \triangle A_1B_1B \cong \triangle B_1C_1C$.
4. Из равенства этих треугольников следует равенство их третьих сторон:
$C_1A_1 = A_1B_1 = B_1C_1$.
Поскольку все стороны треугольника $A_1B_1C_1$ равны, он является правильным.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным, что и требовалось доказать.

10.11. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если:

а) основание меньше боковой стороны на 3 м;

б) основание больше боковой стороны на 3 м.

Пусть в равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $a$ м, а основание равно $b$ м. Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2a + b$. По условию задачи, периметр равен 15,6 м, следовательно, $2a + b = 15,6$.

а) основание меньше боковой стороны на 3 м
По этому условию, $b = a - 3$. Подставим это выражение в формулу периметра:
$2a + (a - 3) = 15,6$
$3a - 3 = 15,6$
$3a = 15,6 + 3$
$3a = 18,6$
$a = 18,6 / 3$
$a = 6,2$ (м)
Это длина боковой стороны. Теперь найдем длину основания:
$b = a - 3 = 6,2 - 3 = 3,2$ (м).
Таким образом, боковые стороны треугольника равны 6,2 м, а основание - 3,2 м.
Ответ: боковые стороны равны по 6,2 м, основание равно 3,2 м.

б) основание больше боковой стороны на 3 м
По этому условию, $b = a + 3$. Подставим это выражение в формулу периметра:
$2a + (a + 3) = 15,6$
$3a + 3 = 15,6$
$3a = 15,6 - 3$
$3a = 12,6$
$a = 12,6 / 3$
$a = 4,2$ (м)
Это длина боковой стороны. Теперь найдем длину основания:
$b = a + 3 = 4,2 + 3 = 7,2$ (м).
Таким образом, боковые стороны треугольника равны 4,2 м, а основание - 7,2 м.
Ответ: боковые стороны равны по 4,2 м, основание равно 7,2 м.

10.12. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника относятся как 3:8. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 38 см.

Пусть в равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а боковые стороны равны $b$. По определению равнобедренного треугольника, у него две стороны (боковые) равны.

Из условия задачи известно, что отношение основания к боковой стороне составляет $3:8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом: основание $a = 3x$, а каждая боковая сторона $b = 8x$.

Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Формула периметра для нашего случая: $P = a + b + b$. По условию, периметр равен 38 см. Составим уравнение, подставив выражения для сторон: $3x + 8x + 8x = 38$

Теперь решим это уравнение относительно $x$: $19x = 38$ $x = \frac{38}{19}$ $x = 2$

Зная коэффициент пропорциональности $x=2$, мы можем найти длины сторон треугольника: Длина основания: $a = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ см. Длина боковой стороны: $b = 8x = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Таким образом, стороны треугольника: основание — 6 см, и две боковые стороны по 16 см.

Ответ: 6 см, 16 см, 16 см.

10.13. В треугольнике CDE угол $1$ равен углу $2$ (рис. 10.15). Верно ли утверждение о том, что это равнобедренный треугольник?

Рис. 10.15

Рис. 10.16

Рассмотрим треугольник $CDE$. Угол 1, показанный на рисунке, является внешним углом треугольника при вершине $C$. Угол 2 является внешним углом при вершине $E$.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол при той же вершине в сумме составляют $180°$. Обозначим внутренние углы треугольника как $∠DCE$ и $∠CED$. Тогда справедливы следующие соотношения:
$∠1 + ∠DCE = 180°$
$∠2 + ∠CED = 180°$

Из этих равенств можно выразить внутренние углы через внешние:
$∠DCE = 180° - ∠1$
$∠CED = 180° - ∠2$

По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$. Если равны величины $∠1$ и $∠2$, то равны и выражения $180° - ∠1$ и $180° - ∠2$. Следовательно, внутренние углы $∠DCE$ и $∠CED$ также равны между собой:
$∠DCE = ∠CED$

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то такой треугольник является равнобедренным. В треугольнике $CDE$ мы доказали равенство двух углов: $∠DCE = ∠CED$. Стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. Напротив угла $∠CED$ лежит сторона $CD$, а напротив угла $∠DCE$ — сторона $DE$. Таким образом, $CD = DE$.

Так как у треугольника $CDE$ есть две равные стороны, он является равнобедренным.

Ответ: Да, утверждение верно.

10.14. В треугольнике $FGH$ угол 1 равен углу 2 и равен углу 3 (рис. 10.16). Верно ли утверждение о том, что это треугольник:

а) равнобедренный;

б) равносторонний;

в) правильный?

В условии задачи сказано, что в треугольнике $FGH$ угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Будем исходить из того, что $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ — это три внутренних угла данного треугольника, то есть $\angle F = \angle G = \angle H$.

а) равнобедренный
Равнобедренным называется треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны.
Поскольку по условию все три угла треугольника $FGH$ равны ($\angle F = \angle G = \angle H$), то, очевидно, любые два из них также равны. Например, рассмотрим углы $\angle F$ и $\angle G$. Так как $\angle F = \angle G$, то противолежащие им стороны $GH$ и $FH$ равны.
Так как треугольник имеет как минимум две равные стороны, он является равнобедренным.
Ответ: да, утверждение верно.

б) равносторонний
Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. Существует признак равностороннего треугольника: если все углы треугольника равны, то такой треугольник является равносторонним.
Это в точности соответствует условию задачи ($\angle F = \angle G = \angle H$).
Можно доказать это и через равенство сторон:
1. Из $\angle F = \angle G$ следует, что $GH = FH$.
2. Из $\angle G = \angle H$ следует, что $FH = FG$.
Из этих двух равенств получаем, что все три стороны равны: $FG = GH = FH$. Следовательно, треугольник является равносторонним. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому каждый угол равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Ответ: да, утверждение верно.

в) правильный
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Для треугольника понятие "правильный" эквивалентно понятию "равносторонний".
Как мы установили в пункте б), данный треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. По условию, все его углы также равны. Таким образом, треугольник $FGH$ является правильным, так как он одновременно равносторонний и равноугольный.
Ответ: да, утверждение верно.

10.15. На рисунке 10.17 $AD = AE$, угол $\angle CAD$ равен углу $\angle BAE$. Докажите, что $BD = CE$.

Рис. 10.17

Дано: На рисунке даны точки $A, B, C, D, E$. Известно, что $AD = AE$ и $\angle CAD = \angle BAE$. Точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой.

Доказать: $BD = CE$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ADE$. По условию $AD = AE$, следовательно, треугольник $ADE$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ADE = \angle AED$. Так как точки $D, B, C, E$ лежат на одной прямой, эти же углы можно обозначить как $\angle ADB = \angle AEC$.

2. По условию задачи дано равенство углов $\angle CAD = \angle BAE$. Угол $\angle CAD$ можно представить как сумму двух углов: $\angle CAD = \angle CAB + \angle BAD$. Аналогично, угол $\angle BAE$ можно представить как сумму углов $\angle BAE = \angle BAC + \angle CAE$.

3. Подставим эти выражения в данное равенство: $\angle CAB + \angle BAD = \angle BAC + \angle CAE$. Угол $\angle BAC$ (или $\angle CAB$) является общим для обеих частей равенства. Вычитая его из обеих частей, получаем: $\angle BAD = \angle CAE$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. Сравним их, используя признаки равенства треугольников:

- $AD = AE$ (по условию).

- $\angle ADB = \angle AEC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $ADE$, доказано в п. 1).

- $\angle BAD = \angle CAE$ (доказано в п. 3).

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

5. Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle ACE$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие напротив равных углов. Сторона $BD$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BAD$. Сторона $CE$ в $\triangle ACE$ лежит напротив равного ему угла $\angle CAE$. Следовательно, $BD = CE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BD = CE$ доказано.