Номер 10.14, страница 59 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.14. В треугольнике $FGH$ угол 1 равен углу 2 и равен углу 3 (рис. 10.16). Верно ли утверждение о том, что это треугольник:

а) равнобедренный;

б) равносторонний;

в) правильный?

В условии задачи сказано, что в треугольнике $FGH$ угол 1 равен углу 2 и равен углу 3. Будем исходить из того, что $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ — это три внутренних угла данного треугольника, то есть $\angle F = \angle G = \angle H$.

а) равнобедренный
Равнобедренным называется треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны.
Поскольку по условию все три угла треугольника $FGH$ равны ($\angle F = \angle G = \angle H$), то, очевидно, любые два из них также равны. Например, рассмотрим углы $\angle F$ и $\angle G$. Так как $\angle F = \angle G$, то противолежащие им стороны $GH$ и $FH$ равны.
Так как треугольник имеет как минимум две равные стороны, он является равнобедренным.
Ответ: да, утверждение верно.

б) равносторонний
Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. Существует признак равностороннего треугольника: если все углы треугольника равны, то такой треугольник является равносторонним.
Это в точности соответствует условию задачи ($\angle F = \angle G = \angle H$).
Можно доказать это и через равенство сторон:
1. Из $\angle F = \angle G$ следует, что $GH = FH$.
2. Из $\angle G = \angle H$ следует, что $FH = FG$.
Из этих двух равенств получаем, что все три стороны равны: $FG = GH = FH$. Следовательно, треугольник является равносторонним. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому каждый угол равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
Ответ: да, утверждение верно.

в) правильный
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Для треугольника понятие "правильный" эквивалентно понятию "равносторонний".
Как мы установили в пункте б), данный треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. По условию, все его углы также равны. Таким образом, треугольник $FGH$ является правильным, так как он одновременно равносторонний и равноугольный.
Ответ: да, утверждение верно.