Номер 10.21, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.21. Докажите, что если биссектриса треугольника является и высотой, то треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник $ABC$, в котором отрезок $BD$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно биссектрисой угла $\angle B$ и высотой, опущенной на сторону $AC$. Необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что его стороны $AB$ и $BC$ равны.

Рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Поскольку $BD$ является биссектрисой, по определению она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Поскольку $BD$ является высотой, по определению она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, углы, которые она образует со стороной $AC$, являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Сторона $BD$ является общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У них общая сторона $BD$, и прилежащие к ней углы соответственно равны: $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle BDA = \angle BDC$.

Из равенства треугольников ($\triangle ABD \cong \triangle CBD$) следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BDA$. Сторона $BC$ в $\triangle CBD$ лежит напротив равного ему угла $\angle BDC$. Следовательно, стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Таким образом, $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник.

Ответ: Доказано, что если в треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также и высотой, то такой треугольник является равнобедренным.