Номер 10.19, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.19. На рисунке 10.21 $DC = BC$ и угол $B$ равен углу $D$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 10.21

Согласно условию задачи и обозначениям на рисунке, нам дано, что $DC = BC$ и $\angle ABC = \angle ADC$. Необходимо доказать, что $AB = AD$. Несмотря на то, что на рисунке дугами отмечены углы $\angle ABD$ и $\angle ADB$, в условии задачи говорится об углах B и D, что в контексте фигуры означает полные углы при вершинах B и D четырехугольника ADBC, то есть $\angle ABC$ и $\angle ADC$.

Для доказательства проведем вспомогательный отрезок $BD$. Этот отрезок разделит фигуру на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CBD$. По условию, стороны $BC$ и $DC$ равны ($BC = DC$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle CBD$ основанием является сторона $BD$, следовательно, углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$ равны.
$ \angle CBD = \angle CDB $

Теперь воспользуемся вторым условием задачи: $\angle ABC = \angle ADC$. Угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$. Аналогично, угол $\angle ADC$ можно представить как сумму углов: $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$.
Подставим эти выражения в равенство:
$ \angle ABD + \angle CBD = \angle ADB + \angle CDB $
Так как из предыдущего шага мы знаем, что $\angle CBD = \angle CDB$, мы можем вычесть эти равные углы из обеих частей равенства:
$ \angle ABD = \angle ADB $

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Мы только что доказали, что два его угла, $\angle ABD$ и $\angle ADB$, равны. Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB$. Таким образом, $AB = AD$.

Доказательство завершено.

Ответ: Что и требовалось доказать.