Номер 10.23, страница 61 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 10. Равнобедренные треугольники. Глава 2. Треугольники - номер 10.23, страница 61.

Условие.

10.23. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Решение.

Решение 2.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, а $AC$ является основанием. Проведем биссектрису $AD$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$ и биссектрису $CE$ из вершины $C$ к боковой стороне $AB$. Нам необходимо доказать, что длины этих биссектрис равны, то есть $AD = CE$.

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный с основанием $AC$, то по свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

2. По определению, биссектриса делит угол пополам. $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, следовательно, $\angle DAC = \angle EAD = \frac{1}{2} \angle BAC$. Аналогично, $CE$ — биссектриса угла $\angle BCA$, следовательно, $\angle ECA = \angle BCE = \frac{1}{2} \angle BCA$.

3. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то и половины этих углов равны: $\angle DAC = \angle ECA$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$.
У них:
- $\angle DAC = \angle ECA$ (из пункта 3).
- $\angle DCA = \angle EAC$ (как углы при основании равнобедренного треугольника $\triangle ABC$).
- $AC$ — общая сторона.

5. Таким образом, $\triangle ADC = \triangle CEA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В $\triangle ADC$ сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle DCA$. В $\triangle CEA$ сторона $CE$ лежит напротив угла $\angle EAC$. Так как $\angle DCA = \angle EAC$, то и противолежащие им стороны равны: $AD = CE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство биссектрис, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, доказано.