Номер 10.20, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.20. На рисунке 10.22 $AB = BC$, $\angle 1$ равен $\angle 2$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 10.22

Доказательство.

Для доказательства равенства сторон $AD$ и $CD$ выполним дополнительное построение: проведем диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA$.

Из условия задачи нам также известно, что $\angle 1 = \angle 2$. Угол $\angle 1$ — это угол $\angle DAB$, а угол $\angle 2$ — это угол $\angle BCD$. Значит, $\angle DAB = \angle BCD$.

Теперь рассмотрим углы $\angle DAC$ и $\angle DCA$. Угол $\angle DAC$ является частью угла $\angle DAB$, а угол $\angle DCA$ — частью угла $\angle BCD$. Мы можем выразить их следующим образом:
$\angle DAC = \angle DAB - \angle BAC$
$\angle DCA = \angle BCD - \angle BCA$

Так как мы знаем, что $\angle DAB = \angle BCD$ и $\angle BAC = \angle BCA$, то из этого следует, что разности этих углов также равны. Таким образом, $\angle DAC = \angle DCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Поскольку в нем два угла равны ($\angle DAC = \angle DCA$), то $\triangle ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle DCA$, а сторона $CD$ — напротив угла $\angle DAC$.

Следовательно, $AD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано.