Номер 10.16, страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.16. На рисунке 10.18 $CD = BD$, угол $1$ равен углу $2$. Докажите, что угол $ACB$ равен углу $ABC$.

Рис. 10.18

На рисунке представлен треугольник $ABC$ с точкой $D$ на стороне $BC$ и отрезком $AD$.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что $\angle ACB = \angle ABC$, рассмотрим два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

Проанализируем известные нам элементы этих треугольников согласно условию задачи:

1. Сторона $CD$ равна стороне $BD$ ($CD = BD$). Это дано в условии и отмечено на рисунке одинаковыми штрихами.

2. Угол 1 равен углу 2. Из рисунка видно, что угол 1 — это $\angle ADB$, а угол 2 — это $\angle ADC$. Таким образом, $\angle ADB = \angle ADC$.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ADC$ (стороны $CD$, $AD$ и угол $\angle ADC$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle ADB$ (стороны $BD$, $AD$ и угол $\angle ADB$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$ равны.

Из равенства треугольников ($\triangle ADC \cong \triangle ADB$) следует равенство их соответственных элементов. В частности, углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Угол $\angle ACB$ (в $\triangle ADC$ — это $\angle ACD$) и угол $\angle ABC$ (в $\triangle ADB$ — это $\angle ABD$) лежат напротив общей стороны $AD$, следовательно, они являются соответственными и равны друг другу.

Итак, $\angle ACB = \angle ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании равенства треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$ по первому признаку (сторона-угол-сторона) следует равенство соответственных углов $\angle ACB$ и $\angle ABC$.