Страница 60 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

10.16. На рисунке 10.18 $CD = BD$, угол $1$ равен углу $2$. Докажите, что угол $ACB$ равен углу $ABC$.

Рис. 10.18

На рисунке представлен треугольник $ABC$ с точкой $D$ на стороне $BC$ и отрезком $AD$.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что $\angle ACB = \angle ABC$, рассмотрим два треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$.

Проанализируем известные нам элементы этих треугольников согласно условию задачи:

1. Сторона $CD$ равна стороне $BD$ ($CD = BD$). Это дано в условии и отмечено на рисунке одинаковыми штрихами.

2. Угол 1 равен углу 2. Из рисунка видно, что угол 1 — это $\angle ADB$, а угол 2 — это $\angle ADC$. Таким образом, $\angle ADB = \angle ADC$.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ADC$ (стороны $CD$, $AD$ и угол $\angle ADC$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle ADB$ (стороны $BD$, $AD$ и угол $\angle ADB$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$ равны.

Из равенства треугольников ($\triangle ADC \cong \triangle ADB$) следует равенство их соответственных элементов. В частности, углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Угол $\angle ACB$ (в $\triangle ADC$ — это $\angle ACD$) и угол $\angle ABC$ (в $\triangle ADB$ — это $\angle ABD$) лежат напротив общей стороны $AD$, следовательно, они являются соответственными и равны друг другу.

Итак, $\angle ACB = \angle ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании равенства треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle ADB$ по первому признаку (сторона-угол-сторона) следует равенство соответственных углов $\angle ACB$ и $\angle ABC$.

10.17. На рисунке 10.19 $\angle 1$ равен $\angle 2$, $\angle 5$ равен $\angle 6$.

Докажите, что $\angle 3$ равен $\angle 4$.

Рис. 10.19

Дано:
На рисунке заданы углы так, что $∠1 = ∠2$ и $∠5 = ∠6$.

Доказать:
$∠3 = ∠4$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△ABD$.
В этих треугольниках:
1. $∠CAB = ∠DAB$, так как по условию $∠5 = ∠6$.
2. $∠CBA = ∠DBA$, так как по условию $∠1 = ∠2$.
3. Сторона $AB$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $△ABC$ равен треугольнику $△ABD$.
Из равенства треугольников следует, что их соответственные элементы равны. В частности, равны их соответственные углы.
Угол $∠3$ ($∠BCA$) в $△ABC$ соответствует углу $∠4$ ($∠BDA$) в $△ABD$.
Таким образом, $∠3 = ∠4$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что угол 3 равен углу 4, доказано.

10.18. На рисунке 10.20 $AB = AD$ и $DC = BC$. Докажите, что угол $\angle ABC$ равен углу $\angle ADC$.

Рис. 10.20

Для доказательства равенства углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$ соединим отрезком точки A и C. Рассмотрим образовавшиеся треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. В этих треугольниках:
1. $AB = AD$ (согласно условию задачи).
2. $BC = DC$ (согласно условию задачи).
3. $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Записываем это как $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ заключен между сторонами $AB$ и $BC$. Угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ заключен между сторонами $AD$ и $DC$. Так как по условию $AB = AD$ и $BC = DC$, то углы, заключенные между этими соответственными сторонами, равны.

Следовательно, $\angle ABC = \angle ADC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$ доказано.

10.19. На рисунке 10.21 $DC = BC$ и угол $B$ равен углу $D$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 10.21

Согласно условию задачи и обозначениям на рисунке, нам дано, что $DC = BC$ и $\angle ABC = \angle ADC$. Необходимо доказать, что $AB = AD$. Несмотря на то, что на рисунке дугами отмечены углы $\angle ABD$ и $\angle ADB$, в условии задачи говорится об углах B и D, что в контексте фигуры означает полные углы при вершинах B и D четырехугольника ADBC, то есть $\angle ABC$ и $\angle ADC$.

Для доказательства проведем вспомогательный отрезок $BD$. Этот отрезок разделит фигуру на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CBD$. По условию, стороны $BC$ и $DC$ равны ($BC = DC$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle CBD$ основанием является сторона $BD$, следовательно, углы $\angle CBD$ и $\angle CDB$ равны.
$ \angle CBD = \angle CDB $

Теперь воспользуемся вторым условием задачи: $\angle ABC = \angle ADC$. Угол $\angle ABC$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$. Аналогично, угол $\angle ADC$ можно представить как сумму углов: $\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$.
Подставим эти выражения в равенство:
$ \angle ABD + \angle CBD = \angle ADB + \angle CDB $
Так как из предыдущего шага мы знаем, что $\angle CBD = \angle CDB$, мы можем вычесть эти равные углы из обеих частей равенства:
$ \angle ABD = \angle ADB $

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Мы только что доказали, что два его угла, $\angle ABD$ и $\angle ADB$, равны. Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle ABD$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ADB$. Таким образом, $AB = AD$.

Доказательство завершено.

Ответ: Что и требовалось доказать.

10.20. На рисунке 10.22 $AB = BC$, $\angle 1$ равен $\angle 2$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 10.22

Доказательство.

Для доказательства равенства сторон $AD$ и $CD$ выполним дополнительное построение: проведем диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Таким образом, $\angle BAC = \angle BCA$.

Из условия задачи нам также известно, что $\angle 1 = \angle 2$. Угол $\angle 1$ — это угол $\angle DAB$, а угол $\angle 2$ — это угол $\angle BCD$. Значит, $\angle DAB = \angle BCD$.

Теперь рассмотрим углы $\angle DAC$ и $\angle DCA$. Угол $\angle DAC$ является частью угла $\angle DAB$, а угол $\angle DCA$ — частью угла $\angle BCD$. Мы можем выразить их следующим образом:
$\angle DAC = \angle DAB - \angle BAC$
$\angle DCA = \angle BCD - \angle BCA$

Так как мы знаем, что $\angle DAB = \angle BCD$ и $\angle BAC = \angle BCA$, то из этого следует, что разности этих углов также равны. Таким образом, $\angle DAC = \angle DCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Поскольку в нем два угла равны ($\angle DAC = \angle DCA$), то $\triangle ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $AD$ лежит напротив угла $\angle DCA$, а сторона $CD$ — напротив угла $\angle DAC$.

Следовательно, $AD = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано.