Страница 67 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

11.18. На рисунке 11.19 $AB = CD$ и угол $BAC$ равен углу $DCA$. Докажите, что углы $DAC$ и $BCA$ равны.

Рис. 11.19

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.По условию задачи дано, что сторона $AB$ равна стороне $CD$, и угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$. Сторона $AC$ является общей для этих двух треугольников.Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABC$ (стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle BAC$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle CDA$ (стороны $CD$, $CA$ и угол $\angle DCA$).Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$.Запишем равенство треугольников: $\triangle ABC = \triangle CDA$.Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы также равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. Угол $\angle BCA$ в $\triangle ABC$ лежит напротив стороны $AB$. Угол $\angle DAC$ в $\triangle CDA$ лежит напротив стороны $CD$.Так как по условию $AB = CD$, то и соответствующие им противолежащие углы равны: $\angle BCA = \angle DAC$.Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство углов $\angle DAC$ и $\angle BCA$ доказано на основании равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ по первому признаку.

11.19. На рисунке 11.19 угол $ABD$ равен углу $CDB$ и угол $ADB$ равен углу $CBD$. Докажите, что углы $BAD$ и $DCB$ равны.

Рис. 11.19

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

Согласно условию задачи, нам известно, что:

1. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CDB$. Запишем это как $ \angle ABD = \angle CDB $.

2. Угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CBD$. Запишем это как $ \angle ADB = \angle CBD $.

Кроме того, сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle CDB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Этот признак также известен как УСУ (угол-сторона-угол).

Из равенства треугольников ($ \triangle ABD = \triangle CDB $) следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, равны углы, лежащие напротив равных сторон. Угол $\angle BAD$ в треугольнике $\triangle ABD$ и угол $\angle DCB$ в треугольнике $\triangle CDB$ лежат напротив их общей стороны $BD$.

Следовательно, эти углы равны: $ \angle BAD = \angle DCB $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $BAD$ и $DCB$ доказано на основании того, что они являются соответственными углами в равных треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$. Равенство этих треугольников установлено по второму признаку (по стороне $BD$ и двум прилежащим к ней углам, равенство которых дано в условии задачи).

11.20. На рисунке 11.20 $AD = BC$ и $AC = BD$. Докажите, что углы $ADC$ и $BCD$ равны.

Рис. 11.20

Чтобы доказать, что углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ равны, рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$.

Сравним эти два треугольника по их сторонам:

1. Сторона $AD$ треугольника $\triangle ADC$ равна стороне $BC$ треугольника $\triangle BCD$ по условию задачи ($AD = BC$).
2. Сторона $AC$ треугольника $\triangle ADC$ равна стороне $BD$ треугольника $\triangle BCD$ также по условию ($AC = BD$).
3. Сторона $DC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ADC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle BCD$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$ равны, то есть $\triangle ADC \cong \triangle BCD$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. Угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ лежит напротив стороны $AC$. Угол $\angle BCD$ в треугольнике $\triangle BCD$ лежит напротив стороны $BD$. Поскольку стороны $AC$ и $BD$ равны, то и противолежащие им углы $\angle ADC$ и $\angle BCD$ также равны.

Следовательно, $\angle ADC = \angle BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Углы $ADC$ и $BCD$ равны, поскольку они являются соответствующими углами в равных треугольниках $ADC$ и $BCD$. Равенство треугольников $\triangle ADC \cong \triangle BCD$ доказано по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как $AD = BC$ (по условию), $AC = BD$ (по условию) и сторона $DC$ является общей.

11.21. На рисунке 11.20 $AO = BO$ и $CO = DO$. Докажите, что углы $\angle DAC$ и $\angle CBD$ равны.

Рис. 11.20

Для доказательства равенства углов $∠DAC$ и $∠CBD$ рассмотрим треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOC$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие равенства сторон: 1. $AO = BO$ 2. $DO = CO$

Угол $∠AOD$ и угол $∠BOC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $AC$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠AOD = ∠BOC$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ΔAOD$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ΔBOC$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $ΔAOD ≅ ΔBOC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие против равных сторон. Угол $∠DAO$ (он же $∠DAC$) лежит против стороны $DO$. Угол $∠CBO$ (он же $∠CBD$) лежит против стороны $CO$. Так как $DO = CO$, то соответствующие углы равны: $∠DAC = ∠CBD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $∠DAC$ и $∠CBD$ доказано на основе равенства треугольников $ΔAOD$ и $ΔBOC$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

11.22. На рисунке 11.20 угол $BAC$ равен углу $ABD$ и угол $BAD$ равен углу $ABC$. Докажите, что $AD = BC$.

Рис. 11.20

Для доказательства равенства отрезков $AD$ и $BC$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BAC$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AB$ является общей.

2. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle ABC$ по условию.

3. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle BAC$ по условию.

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle BAC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle ABD$. Сторона $BC$ в треугольнике $\triangle BAC$ лежит напротив угла $\angle BAC$. Так как по условию $\angle ABD = \angle BAC$, то и соответствующие стороны $AD$ и $BC$ равны.

Таким образом, $AD = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = BC$ доказано.

11.23. На рисунке 11.21 $\text{AB} = \text{CB}$ и $\text{AD} = \text{CD}$. Докажите, что углы $\angle \text{BAD}$ и $\angle \text{BCD}$ равны.

Рис. 11.21

Для того чтобы доказать, что углы $∠BAD$ и $∠BCD$ равны, рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Проанализируем стороны этих треугольников:
1. $AB = CB$ (согласно условию задачи).
2. $AD = CD$ (согласно условию задачи).
3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Так как три стороны одного треугольника ($\triangle ABD$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($\triangle CBD$), то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). То есть, $\triangle ABD = \triangle CBD$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. Угол $∠BAD$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив общей стороны $BD$. Угол $∠BCD$ в треугольнике $\triangle CBD$ также лежит напротив общей стороны $BD$. Следовательно, углы $∠BAD$ и $∠BCD$ являются соответствующими.

Таким образом, $∠BAD = ∠BCD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $BAD$ и $BCD$ доказано.

11.24. На рисунке 11.21 $AD = CD$ и угол $ADB$ равен углу $CDB$. Докажите, что $AB = BC$.

Рис. 11.21

Для доказательства равенства сторон $AB$ и $BC$ рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AD$ равна стороне $CD$ ($AD = CD$) по условию задачи.

2. Угол $ADB$ равен углу $CDB$ ($\angle ADB = \angle CDB$) также по условию.

3. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ABD$ равен треугольнику $CBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС).

Поскольку треугольники равны, то их соответствующие стороны также равны. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABD$ соответствует стороне $BC$ в треугольнике $\triangle CBD$.

Следовательно, $AB = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: $AB = BC$.

11.25. На рисунке 11.21 угол $ADB$ равен углу $CDB$ и $AC$ перпендикулярна $BD$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 11.21

Дано:

Четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

$\angle ADB = \angle CDB$.

$AC \perp BD$.

Доказать:

$AD = CD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $OD$ является общей для этих двух треугольников.

2. По условию задачи $AC \perp BD$, что означает, что диагонали пересекаются под прямым углом. Следовательно, углы $\angle AOD$ и $\angle COD$ являются прямыми, и $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$.

3. По условию задачи $\angle ADB = \angle CDB$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то эти углы можно также обозначить как $\angle ADO$ и $\angle CDO$. Таким образом, $\angle ADO = \angle CDO$.

Мы имеем два треугольника, $\triangle AOD$ и $\triangle COD$, у которых сторона $OD$ и два прилежащих к ней угла ($\angle AOD$ и $\angle ADO$ у первого, $\angle COD$ и $\angle CDO$ у второго) соответственно равны.

Следовательно, $\triangle AOD = \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы (стороны и углы) также равны. Сторона $AD$ в треугольнике $\triangle AOD$ лежит напротив угла $\angle AOD$, а сторона $CD$ в треугольнике $\triangle COD$ лежит напротив угла $\angle COD$. Поскольку $\angle AOD = \angle COD$, то и соответствующие им стороны равны: $AD = CD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано на основании равенства треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$ по стороне и двум прилежащим углам.

11.26. На рисунке 11.22 $AB = CB$ и $AD = CD$. Докажите, что углы $ADB$ и $CDB$ равны.

Рис. 11.22

Для доказательства того, что углы $ADB$ и $CDB$ равны, рассмотрим два треугольника: $ΔADB$ и $ΔCDB$.

Сравним эти два треугольника:
1. Сторона $AB$ равна стороне $CB$ ($AB = CB$) по условию задачи.
2. Сторона $AD$ равна стороне $CD$ ($AD = CD$) также по условию задачи.
3. Сторона $DB$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку три стороны одного треугольника ($ΔADB$) соответственно равны трем сторонам другого треугольника ($ΔCDB$), то эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Таким образом, $ΔADB \cong ΔCDB$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. В данном случае, угол $ADB$ треугольника $ΔADB$ является соответствующим углу $CDB$ треугольника $ΔCDB$.

Следовательно, $\angle ADB = \angle CDB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $ADB$ и $CDB$ следует из равенства треугольников $ΔADB$ и $ΔCDB$. Треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам), так как $AB = CB$ и $AD = CD$ по условию, а сторона $DB$ — общая.

11.27. На рисунке 11.22 $AD = CD$ и $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$.

Рис. 11.22

Для доказательства равенства углов $∠BAD$ и $∠BCD$ рассмотрим треугольники $ΔADB$ и $ΔCDB$.

Проанализируем эти треугольники:

1. Сторона $AD$ равна стороне $CD$ ($AD = CD$) по условию задачи.

2. Угол $∠ADB$ равен углу $∠CDB$ ($∠ADB = ∠CDB$) также по условию.

3. Сторона $DB$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($ΔADB$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($ΔCDB$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, треугольник $ΔADB$ равен треугольнику $ΔCDB$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. Углы $∠BAD$ и $∠BCD$ являются соответствующими, так как они лежат напротив общей стороны $DB$ в равных треугольниках.

Значит, $∠BAD = ∠BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $BAD$ и $BCD$ доказано.

11.28. На рисунке 11.22 угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CDB$ и $AC \perp BD$. Докажите, что $AD = CD$.

Рис. 11.22

Для доказательства равенства сторон $AD$ и $CD$ рассмотрим треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$, где $O$ — точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$.

Из условия задачи известно, что $\angle ADB = \angle CDB$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $BD$, то луч $DO$ является частью прямой, содержащей отрезок $BD$. Следовательно, $\angle ADO = \angle CDO$.

Также по условию $AC \perp BD$. Это означает, что угол между отрезками $AC$ и $BD$ в точке их пересечения $O$ равен $90^\circ$. Таким образом, углы $\angle AOD$ и $\angle COD$ являются прямыми, то есть $\angle AOD = \angle COD = 90^\circ$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ADO$ и $\triangle CDO$. У них есть общая сторона $DO$. К этой стороне в обоих треугольниках прилегают углы, которые, как мы показали, попарно равны: $\angle ADO = \angle CDO$ и $\angle AOD = \angle COD$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $\triangle ADO$ равен треугольнику $\triangle CDO$ ($\triangle ADO \cong \triangle CDO$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, сторона $AD$ треугольника $\triangle ADO$ соответствует стороне $CD$ треугольника $\triangle CDO$ (они лежат напротив равных углов $\angle AOD$ и $\angle COD$ соответственно). Значит, стороны $AD$ и $CD$ равны между собой: $AD = CD$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Равенство $AD = CD$ доказано.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

11.29. В треугольнике $ABC$ угол $\angle A$ больше угла $\angle B$. Какая из сторон больше, $AC$ или $BC$?

Для решения данной задачи используется теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Эта теорема утверждает, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

В заданном треугольнике $ABC$ мы рассматриваем углы $A$ и $B$ и противолежащие им стороны $BC$ и $AC$ соответственно.

• Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$.
• Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.

По условию задачи нам дано, что угол $A$ больше угла $B$, что можно записать в виде неравенства: $\angle A > \angle B$.

Применяя теорему о соотношении сторон и углов, мы можем заключить, что сторона, противолежащая большему углу, будет длиннее. Поскольку $\angle A > \angle B$, то сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, будет больше стороны $AC$, лежащей напротив угла $B$.

Следовательно, выполняется неравенство $BC > AC$.

Ответ: сторона $BC$ больше стороны $AC$.