Страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.15 На рисунке 12.10 угол $1$ меньше угла $2$. Каким соотношением связаны стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$?

Рис. 12.10

Введем обозначения для внутренних углов треугольника $ABC$: $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

Угол 1, показанный на рисунке, является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $A$. Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Следовательно:
$\angle 1 + \angle BAC = 180^\circ$
Отсюда можно выразить внутренний угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 180^\circ - \angle 1$

Аналогично, угол 2 является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. Он смежен с внутренним углом $\angle BCA$:
$\angle 2 + \angle BCA = 180^\circ$
Отсюда выразим внутренний угол $\angle BCA$:
$\angle BCA = 180^\circ - \angle 2$

По условию задачи, угол 1 меньше угла 2:
$\angle 1 < \angle 2$

Используем это неравенство, чтобы сравнить внутренние углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-\angle 1 > -\angle 2$
Теперь прибавим к обеим частям $180^\circ$. Знак неравенства не изменится:
$180^\circ - \angle 1 > 180^\circ - \angle 2$
Заменив левую и правую части на соответствующие им внутренние углы, получим:
$\angle BAC > \angle BCA$

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$:

• против угла $\angle BAC$ лежит сторона $BC$;
• против угла $\angle BCA$ лежит сторона $AB$.

Ответ: Сторона $BC$ больше стороны $AB$, то есть $BC > AB$.

12.16. На рисунке 12.11 угол 1 больше угла 2. Докажите, что $AB > BC$.

Рис. 12.11

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке. Углы 1 и 2 являются внешними углами треугольника при вершинах $A$ и $C$ соответственно.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Таким образом, для угла $\angle BAC$ (внутренний угол при вершине $A$) и угла 1 (внешний угол) справедливо равенство $\angle BAC = 180^\circ - \angle 1$. Аналогично, для угла $\angle BCA$ (внутренний угол при вершине $C$) и угла 2 (внешний угол) справедливо равенство $\angle BCA = 180^\circ - \angle 2$.

По условию задачи дано, что $\angle 1 > \angle 2$. Используем это неравенство для сравнения внутренних углов треугольника. Умножим обе части неравенства на $-1$, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $-\angle 1 < -\angle 2$. Теперь прибавим $180^\circ$ к обеим частям: $180^\circ - \angle 1 < 180^\circ - \angle 2$.

Подставляя выражения для внутренних углов, которые мы получили ранее, получаем неравенство: $\angle BAC < \angle BCA$.

Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BCA$, а сторона $BC$ — напротив угла $\angle BAC$.

Поскольку мы установили, что $\angle BCA > \angle BAC$, то и сторона, лежащая напротив большего угла, будет больше. Следовательно, $AB > BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $\angle 1 > \angle 2$ следует, что смежный с $\angle 1$ внутренний угол $\angle BAC$ меньше, чем смежный с $\angle 2$ внутренний угол $\angle BCA$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, поэтому $AB > BC$.

12.17. На рисунке 12.12 $ \angle 1 $ равен $ \angle 2 $, $ \angle 3 $ меньше $ \angle 4 $.

Докажите, что $ AC > BD $.

Рис. 12.12

Рассмотрим четырехугольник ADBC и треугольники ΔABC и ΔABD, которые имеют общую сторону AB.

В соответствии с рисунком и условием задачи, мы имеем следующие обозначения для углов:

• $∠1 = ∠BAC$
• $∠2 = ∠DBA$
• $∠3 = ∠DAB$
• $∠4 = ∠CBA$

Дано:

• $∠1 = ∠2$. Обозначим этот угол как $α$, то есть $∠BAC = ∠DBA = α$.
• $∠3 < ∠4$.

Нужно доказать, что $AC > BD$.

Для доказательства воспользуемся теоремой синусов для треугольников ΔABC и ΔABD.

1. Рассмотрим треугольник ΔABC.

По теореме синусов: $ \frac{AC}{\sin(∠CBA)} = \frac{AB}{\sin(∠BCA)} $

Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠CBA = 180° - α - ∠4$.

Используя формулу приведения $\sin(180° - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(∠BCA) = \sin(α + ∠4)$.

Подставив это в уравнение теоремы синусов, выразим сторону AC: $ AC = AB \cdot \frac{\sin(∠4)}{\sin(α + ∠4)} $

2. Рассмотрим треугольник ΔABD.

По теореме синусов: $ \frac{BD}{\sin(∠DAB)} = \frac{AB}{\sin(∠BDA)} $

Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠BDA = 180° - ∠DBA - ∠DAB = 180° - α - ∠3$.

Используя формулу приведения, получаем $\sin(∠BDA) = \sin(α + ∠3)$.

Подставив это в уравнение теоремы синусов, выразим сторону BD: $ BD = AB \cdot \frac{\sin(∠3)}{\sin(α + ∠3)} $

3. Сравним стороны AC и BD.

Чтобы доказать, что $AC > BD$, нам нужно доказать следующее неравенство: $ AB \cdot \frac{\sin(∠4)}{\sin(α + ∠4)} > AB \cdot \frac{\sin(∠3)}{\sin(α + ∠3)} $

Так как длина стороны AB положительна ($AB > 0$), мы можем сократить неравенство на AB: $ \frac{\sin(∠4)}{\sin(α + ∠4)} > \frac{\sin(∠3)}{\sin(α + ∠3)} $

Перепишем неравенство в виде: $ \sin(∠4) \cdot \sin(α + ∠3) > \sin(∠3) \cdot \sin(α + ∠4) $

Раскроем синусы суммы, используя формулу $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$: $ \sin(∠4) \cdot (\sin(α)\cos(∠3) + \cos(α)\sin(∠3)) > \sin(∠3) \cdot (\sin(α)\cos(∠4) + \cos(α)\sin(∠4)) $

Раскроем скобки: $ \sin(∠4)\sin(α)\cos(∠3) + \sin(∠4)\cos(α)\sin(∠3) > \sin(∠3)\sin(α)\cos(∠4) + \sin(∠3)\cos(α)\sin(∠4) $

Слагаемое $\sin(∠4)\cos(α)\sin(∠3)$ присутствует в обеих частях неравенства, поэтому мы можем его сократить: $ \sin(∠4)\sin(α)\cos(∠3) > \sin(∠3)\sin(α)\cos(∠4) $

Поскольку $α$ — это угол в треугольнике, $0° < α < 180°$, и, следовательно, $\sin(α) > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $\sin(α)$, не меняя знака неравенства: $ \sin(∠4)\cos(∠3) > \sin(∠3)\cos(∠4) $

Перенесем все члены в левую часть: $ \sin(∠4)\cos(∠3) - \cos(∠4)\sin(∠3) > 0 $

Левая часть является формулой синуса разности $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$: $ \sin(∠4 - ∠3) > 0 $

По условию задачи, $∠3 < ∠4$, значит $∠4 - ∠3 > 0$. Также, поскольку $∠4$ — это угол треугольника, $∠4 < 180°$. А $∠3 > 0$. Следовательно, разность $∠4 - ∠3$ находится в интервале $(0°, 180°)$. Для любого угла $θ$ в этом интервале ($0° < θ < 180°$) его синус положителен, $\sin(θ) > 0$.

Таким образом, неравенство $\sin(∠4 - ∠3) > 0$ является верным.

Поскольку все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство $AC > BD$ также является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.18. Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, $CD = BD$, угол $ACD$ меньше угла $ABD$ (рис. 12.13). Докажите, что $AC > AB$.

Рис. 12.13

Рассмотрим треугольник $BDC$. По условию задачи $CD = BD$, следовательно, треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DCB = \angle DBC$.
Теперь рассмотрим углы треугольника $ABC$. Угол $\angle ABC$ можно представить как сумму углов $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Аналогично, угол $\angle ACB$ можно представить как сумму углов $\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$.
По условию задачи нам дано неравенство $\angle ACD < \angle ABD$.
Сравним величины углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$. Мы имеем равенство $\angle DCB = \angle DBC$ и неравенство $\angle ACD < \angle ABD$. Сложив соответствующие части равенства и неравенства, получим:$\angle ACD + \angle DCB < \angle ABD + \angle DBC$.
Подставляя суммы углов, получаем неравенство $\angle ACB < \angle ABC$.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle ABC$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ACB$. Так как $\angle ABC > \angle ACB$, то и сторона $AC$ больше стороны $AB$.
Следовательно, $AC > AB$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

12.19. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$, $CD = DE$, угол $BAC$ меньше угла $DEC$ (рис. 12.14). Докажите, что $AB > BC$.

Рис. 12.14

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$. Согласно условию, отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$. Это означает, что углы $\angle ACB$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, а следовательно, они равны: $\angle ACB = \angle DCE$.

Рассмотрим $\triangle CDE$. По условию, его стороны $CD$ и $DE$ равны ($CD = DE$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Стороне $DE$ противолежит угол $\angle DCE$, а стороне $CD$ противолежит угол $\angle DEC$. Таким образом, мы можем заключить, что $\angle DCE = \angle DEC$.

Из двух полученных равенств ($\angle ACB = \angle DCE$ и $\angle DCE = \angle DEC$) следует, что $\angle ACB = \angle DEC$.

В условии задачи также дано неравенство $\angle BAC < \angle DEC$. Используя установленное нами равенство, мы можем заменить в этом неравенстве угол $\angle DEC$ на равный ему угол $\angle ACB$. В результате получаем новое неравенство, связывающее углы в треугольнике $\triangle ABC$: $\angle BAC < \angle ACB$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $\triangle ABC$ сторона $BC$ находится напротив угла $\angle BAC$, а сторона $AB$ — напротив угла $\angle ACB$. Так как $\angle BAC < \angle ACB$, то и сторона, лежащая против меньшего угла, будет короче: $BC < AB$. Это неравенство эквивалентно тому, что $AB > BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.