Номер 12.17, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.17. На рисунке 12.12 $ \angle 1 $ равен $ \angle 2 $, $ \angle 3 $ меньше $ \angle 4 $.

Докажите, что $ AC > BD $.

Рис. 12.12

Рассмотрим четырехугольник ADBC и треугольники ΔABC и ΔABD, которые имеют общую сторону AB.

В соответствии с рисунком и условием задачи, мы имеем следующие обозначения для углов:

• $∠1 = ∠BAC$
• $∠2 = ∠DBA$
• $∠3 = ∠DAB$
• $∠4 = ∠CBA$

Дано:

• $∠1 = ∠2$. Обозначим этот угол как $α$, то есть $∠BAC = ∠DBA = α$.
• $∠3 < ∠4$.

Нужно доказать, что $AC > BD$.

Для доказательства воспользуемся теоремой синусов для треугольников ΔABC и ΔABD.

1. Рассмотрим треугольник ΔABC.

По теореме синусов: $ \frac{AC}{\sin(∠CBA)} = \frac{AB}{\sin(∠BCA)} $

Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠CBA = 180° - α - ∠4$.

Используя формулу приведения $\sin(180° - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(∠BCA) = \sin(α + ∠4)$.

Подставив это в уравнение теоремы синусов, выразим сторону AC: $ AC = AB \cdot \frac{\sin(∠4)}{\sin(α + ∠4)} $

2. Рассмотрим треугольник ΔABD.

По теореме синусов: $ \frac{BD}{\sin(∠DAB)} = \frac{AB}{\sin(∠BDA)} $

Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $∠BDA = 180° - ∠DBA - ∠DAB = 180° - α - ∠3$.

Используя формулу приведения, получаем $\sin(∠BDA) = \sin(α + ∠3)$.

Подставив это в уравнение теоремы синусов, выразим сторону BD: $ BD = AB \cdot \frac{\sin(∠3)}{\sin(α + ∠3)} $

3. Сравним стороны AC и BD.

Чтобы доказать, что $AC > BD$, нам нужно доказать следующее неравенство: $ AB \cdot \frac{\sin(∠4)}{\sin(α + ∠4)} > AB \cdot \frac{\sin(∠3)}{\sin(α + ∠3)} $

Так как длина стороны AB положительна ($AB > 0$), мы можем сократить неравенство на AB: $ \frac{\sin(∠4)}{\sin(α + ∠4)} > \frac{\sin(∠3)}{\sin(α + ∠3)} $

Перепишем неравенство в виде: $ \sin(∠4) \cdot \sin(α + ∠3) > \sin(∠3) \cdot \sin(α + ∠4) $

Раскроем синусы суммы, используя формулу $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$: $ \sin(∠4) \cdot (\sin(α)\cos(∠3) + \cos(α)\sin(∠3)) > \sin(∠3) \cdot (\sin(α)\cos(∠4) + \cos(α)\sin(∠4)) $

Раскроем скобки: $ \sin(∠4)\sin(α)\cos(∠3) + \sin(∠4)\cos(α)\sin(∠3) > \sin(∠3)\sin(α)\cos(∠4) + \sin(∠3)\cos(α)\sin(∠4) $

Слагаемое $\sin(∠4)\cos(α)\sin(∠3)$ присутствует в обеих частях неравенства, поэтому мы можем его сократить: $ \sin(∠4)\sin(α)\cos(∠3) > \sin(∠3)\sin(α)\cos(∠4) $

Поскольку $α$ — это угол в треугольнике, $0° < α < 180°$, и, следовательно, $\sin(α) > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $\sin(α)$, не меняя знака неравенства: $ \sin(∠4)\cos(∠3) > \sin(∠3)\cos(∠4) $

Перенесем все члены в левую часть: $ \sin(∠4)\cos(∠3) - \cos(∠4)\sin(∠3) > 0 $

Левая часть является формулой синуса разности $\sin(x-y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$: $ \sin(∠4 - ∠3) > 0 $

По условию задачи, $∠3 < ∠4$, значит $∠4 - ∠3 > 0$. Также, поскольку $∠4$ — это угол треугольника, $∠4 < 180°$. А $∠3 > 0$. Следовательно, разность $∠4 - ∠3$ находится в интервале $(0°, 180°)$. Для любого угла $θ$ в этом интервале ($0° < θ < 180°$) его синус положителен, $\sin(θ) > 0$.

Таким образом, неравенство $\sin(∠4 - ∠3) > 0$ является верным.

Поскольку все преобразования были эквивалентными, исходное неравенство $AC > BD$ также является верным.

Ответ: Что и требовалось доказать.