Номер 12.12, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.12. На рисунке 12.7 $\angle 1 = \angle 2$, $AC > BD$. Докажите, что $\angle 3 < \angle 4$.

Рис. 12.7

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного, который в данном случае покажет, что условие задачи содержит ошибку. Мы докажем, что при заданных условиях ($ \angle 1 = \angle 2 $, $ AC > BD $) на самом деле выполняется неравенство $ \angle 3 > \angle 4 $.

Дано:

$ \angle 1 = \angle BAC $

$ \angle 2 = \angle ABD $

$ \angle 3 = \angle ADB $

$ \angle 4 = \angle BCA $

$ \angle 1 = \angle 2 $

$ AC > BD $

Доказать:

$ \angle 3 < \angle 4 $

Доказательство:

1. На отрезке $ AC $ отложим точку $ K $ так, что $ AK = BD $. Это возможно, так как по условию $ AC > BD $, поэтому точка $ K $ будет лежать между точками $ A $ и $ C $.

2. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABK $ и $ \triangle BDA $.

У них:

• $ AK = BD $ по построению.
• $ AB $ — общая сторона.
• $ \angle KAB = \angle BAC = \angle 1 $. По условию $ \angle 1 = \angle 2 = \angle ABD $. Следовательно, $ \angle KAB = \angle ABD $.

Таким образом, $ \triangle ABK = \triangle BDA $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол, лежащий против общей стороны $ AB $ в $ \triangle ABK $, — это $ \angle AKB $. Угол, лежащий против общей стороны $ AB $ в $ \triangle BDA $, — это $ \angle ADB $ (то есть $ \angle 3 $).

Следовательно, $ \angle AKB = \angle ADB = \angle 3 $.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle BKC $. Так как точка $ K $ лежит на отрезке $ AC $, угол $ \angle AKB $ является внешним углом для $ \triangle BKC $ при вершине $ K $.

5. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Значит, $ \angle AKB = \angle KBC + \angle KCB $.

6. Заметим, что $ \angle KCB $ — это тот же угол, что и $ \angle BCA $ (то есть $ \angle 4 $).

Подставим известные нам обозначения в равенство: $ \angle 3 = \angle KBC + \angle 4 $.

7. Так как $ \triangle BKC $ — это невырожденный треугольник (точки $ B $, $ K $, $ C $ не лежат на одной прямой), то угол $ \angle KBC $ имеет положительную меру, то есть $ \angle KBC > 0 $.

Из этого следует, что $ \angle 3 > \angle 4 $.

Вывод:

Наше доказательство, основанное на условиях задачи, приводит к выводу, что $ \angle 3 > \angle 4 $. Это противоречит тому, что требовалось доказать ($ \angle 3 < \angle 4 $).

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если бы условие было $ AC < BD $, то доказательство привело бы к выводу $ \angle 3 < \angle 4 $. Либо при текущих условиях правильная формулировка задания была бы "Докажите, что угол 3 больше угла 4".

Ответ: При заданных условиях ($ \angle 1 = \angle 2 $ и $ AC > BD $) утверждение $ \angle 3 < \angle 4 $ неверно. Правильным следствием является неравенство $ \angle 3 > \angle 4 $.