Номер 12.10, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.10. Докажите, что в треугольнике может быть только один:

а) прямой угол;

б) тупой угол.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся фундаментальной теоремой геометрии для евклидова пространства: сумма внутренних углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

а) прямой угол

Прямым углом называется угол, равный $90^\circ$. Для доказательства будем использовать метод от противного.

Предположим, что в треугольнике существует два прямых угла. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ$.

Сумма этих двух углов составит: $\alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

По теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех углов должна быть равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Подставим сумму двух известных углов в это равенство:

$180^\circ + \gamma = 180^\circ$

Из этого уравнения следует, что третий угол $\gamma$ должен быть равен $0^\circ$.

Однако угол в треугольнике не может быть равен $0^\circ$, поскольку в этом случае все три вершины оказались бы на одной прямой, и такая фигура не являлась бы треугольником.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше первоначальное предположение о том, что в треугольнике может быть два прямых угла, является ложным. Следовательно, в треугольнике может быть только один прямой угол.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) тупой угол

Тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Доказательство также проведем методом от противного.

Предположим, что в треугольнике есть два тупых угла. Пусть это будут углы $\alpha$ и $\beta$. По определению тупого угла:

$\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$

Рассмотрим сумму этих двух углов:

$\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ$

$\alpha + \beta > 180^\circ$

Получается, что сумма только двух углов треугольника уже превышает $180^\circ$.

Но согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех его углов ($\alpha$, $\beta$ и $\gamma$) должна быть строго равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Так как любой угол треугольника является положительной величиной ($\gamma > 0^\circ$), то сумма двух других углов $\alpha + \beta$ должна быть строго меньше $180^\circ$ ($\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$).

Мы получили противоречие: из нашего предположения следует, что $\alpha + \beta > 180^\circ$, а из теоремы о сумме углов треугольника следует, что $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Следовательно, наше предположение о возможности существования двух тупых углов в одном треугольнике неверно. В треугольнике может быть не более одного тупого угла.

Ответ: Что и требовалось доказать.