Номер 12.3, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.3. Если один из внешних углов треугольника острый, то какими являются его остальные внешние углы?

Пусть в треугольнике заданы три внутренних угла $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Внешние углы, смежные с соответствующими внутренними углами, обозначим как $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$.

По определению, внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Таким образом, справедливы следующие равенства:

$\alpha + \alpha' = 180^\circ$

$\beta + \beta' = 180^\circ$

$\gamma + \gamma' = 180^\circ$

По условию задачи, один из внешних углов является острым. Пусть это будет угол $\alpha'$. Острый угол — это угол, величина которого меньше $90^\circ$. Значит, $0^\circ < \alpha' < 90^\circ$.

Найдем, каким в этом случае будет смежный с ним внутренний угол $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - \alpha'$

Поскольку $\alpha'$ меньше $90^\circ$, то внутренний угол $\alpha$ будет больше $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. То есть, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это означает, что угол $\alpha$ является тупым, а сам треугольник — тупоугольным.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

В треугольнике может быть только один тупой или прямой угол. Так как мы установили, что угол $\alpha$ — тупой, то два других внутренних угла, $\beta$ и $\gamma$, обязаны быть острыми ($0^\circ < \beta < 90^\circ$ и $0^\circ < \gamma < 90^\circ$).

Теперь определим, какими будут остальные внешние углы, $\beta'$ и $\gamma'$, которые смежны с острыми внутренними углами $\beta$ и $\gamma$.

Для угла $\beta'$:

$\beta' = 180^\circ - \beta$

Поскольку $\beta$ — острый угол, то $\beta'$ будет больше $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, внешний угол $\beta'$ является тупым.

Аналогично для угла $\gamma'$:

$\gamma' = 180^\circ - \gamma$

Поскольку $\gamma$ — также острый угол, то $\gamma'$ будет больше $90^\circ$. Следовательно, внешний угол $\gamma'$ также является тупым.

Таким образом, если один из внешних углов треугольника острый, то два других его внешних угла являются тупыми.

Ответ: Остальные внешние углы являются тупыми.