Вопросы, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой угол называется внешним углом треугольника?

2. Сколько внешних углов имеется при каждой вершине треугольника?

3. Какое неравенство имеет место для внешнего угла треугольника?

4. Какой угол лежит против большей стороны треугольника?

5. Какая сторона лежит против большего угла треугольника?

1.Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Он образуется одной из сторон треугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины.
Например, для треугольника $ABC$, изображенного ниже, если продлить сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D$, то угол $\delta$ ($\angle BCD$) будет внешним углом при вершине $C$. Он смежен с внутренним углом $\gamma$ ($\angle ACB$).

Ответ: Угол, смежный с внутренним углом треугольника.

2.При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла. Это делается путем продления каждой из двух сторон, образующих данную вершину. Эти два внешних угла являются вертикальными по отношению друг к другу, и, следовательно, их градусные меры равны. Хотя формально углов два, они равны, поэтому часто говорят об одном внешнем угле при вершине, имея в виду пару равных вертикальных углов.
Ответ: Два.

3.Для внешнего угла треугольника справедливо следующее свойство: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть $\delta$ — это внешний угол при одной из вершин, а $\alpha$ и $\beta$ — это два внутренних угла при двух других вершинах. Тогда выполняется равенство: $\delta = \alpha + \beta$.
Поскольку градусные меры углов треугольника всегда положительны ($\alpha > 0$ и $\beta > 0$), из этого равенства напрямую следует неравенство: внешний угол треугольника строго больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. То есть, $\delta > \alpha$ и $\delta > \beta$.
Ответ: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

4.В любом треугольнике существует зависимость между длинами сторон и величинами противолежащих им углов. Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол.
Например, если в треугольнике $ABC$ сторона $a$ (противолежащая углу $A$) длиннее стороны $b$ (противолежащей углу $B$), то есть $a > b$, то и угол $A$ будет больше угла $B$, то есть $\angle A > \angle B$.
Ответ: Больший угол.

5.Это обратное утверждение к предыдущему, и оно также является верной теоремой. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Например, если в треугольнике $ABC$ угол $A$ больше угла $B$ ($\angle A > \angle B$), то сторона $a$, лежащая напротив угла $A$, будет длиннее стороны $b$, лежащей напротив угла $B$ ($a > b$).
Ответ: Большая сторона.