Номер 12.5, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.5. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ наибольшая. Каким может быть угол $C$?

В любом треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. По условию задачи, в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ является наибольшей. Угол $C$ лежит напротив стороны $AB$. Следовательно, угол $C$ является наибольшим углом этого треугольника.

Это означает, что выполняются неравенства: $\angle C > \angle A$ и $\angle C > \angle B$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Из этого равенства можно выразить сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Теперь сложим два неравенства, которые выполняются для угла $C$: $\angle C > \angle A$
$\angle C > \angle B$
Получаем: $\angle C + \angle C > \angle A + \angle B$, то есть $2\angle C > \angle A + \angle B$.

Подставим в полученное неравенство выражение для суммы углов $\angle A + \angle B$: $2\angle C > 180^\circ - \angle C$.

Решим это неравенство относительно $\angle C$. Прибавим $\angle C$ к обеим частям: $3\angle C > 180^\circ$.

Разделим обе части неравенства на 3: $\angle C > 60^\circ$.

Таким образом, мы нашли нижнюю границу для величины угла $C$. Верхняя граница определяется тем, что любой угол треугольника должен быть меньше $180^\circ$, так как сумма двух других углов всегда положительна ($\angle A + \angle B > 0$). Это означает, что $180^\circ - \angle C > 0$, откуда следует $\angle C < 180^\circ$.

Объединяя оба условия, получаем, что величина угла $C$ должна находиться в интервале от $60^\circ$ до $180^\circ$. Это означает, что угол $C$ может быть острым (если $60^\circ < \angle C < 90^\circ$), прямым (если $\angle C = 90^\circ$) или тупым (если $90^\circ < \angle C < 180^\circ$).

Ответ: угол $C$ должен быть больше $60^\circ$ и меньше $180^\circ$, то есть $60^\circ < \angle C < 180^\circ$.