Номер 12.8, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.8. На рисунке 12.5 $DE < DF$. Каким соотношением связаны углы 1 и 2?

Рис. 12.5

Рассмотрим треугольник $DEF$. По условию задачи, сторона $DE$ меньше стороны $DF$, то есть $DE < DF$.

Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $DEF$ напротив стороны $DE$ лежит угол $\angle DFE$, а напротив стороны $DF$ лежит угол $\angle DEF$.

Поскольку $DE < DF$, то и противолежащие им углы связаны таким же неравенством: $\angle DFE < \angle DEF$.

Теперь проанализируем углы 1 и 2, изображенные на рисунке.

Угол 1 и угол $\angle DEF$ являются вертикальными углами. Следовательно, их величины равны: $\angle 1 = \angle DEF$.

Угол 2 и угол $\angle DFE$ являются смежными углами, так как они вместе образуют развернутый угол. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 2 + \angle DFE = 180^\circ$, откуда $\angle 2 = 180^\circ - \angle DFE$.

По теореме о сумме углов треугольника, для $\triangle DEF$ справедливо равенство: $\angle FDE + \angle DEF + \angle DFE = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для $\angle DEF$ и $\angle DFE$ через углы 1 и 2:

$\angle DEF = \angle 1$

$\angle DFE = 180^\circ - \angle 2$

Получим: $\angle FDE + \angle 1 + (180^\circ - \angle 2) = 180^\circ$.

Упростим выражение:

$\angle FDE + \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ - 180^\circ$

$\angle FDE + \angle 1 - \angle 2 = 0$

$\angle 2 = \angle 1 + \angle FDE$

Так как $\angle FDE$ является углом треугольника, его градусная мера положительна: $\angle FDE > 0$. Из равенства $\angle 2 = \angle 1 + \angle FDE$ следует, что угол 2 больше угла 1 на величину угла $FDE$.

Следовательно, $\angle 1 < \angle 2$.

Ответ: $\angle 1 < \angle 2$.