Номер 12.4, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.4. Может ли в треугольнике быть два:

а) острых;

б) тупых;

в) прямых внешних угла?

а) острых;

Разберем этот вопрос. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Если предположить, что в треугольнике есть два острых внешних угла, то соответствующие им внутренние углы будут тупыми.
Пусть $\alpha_{внешн} < 90^\circ$ и $\beta_{внешн} < 90^\circ$.
Тогда соответствующие внутренние углы:
$\alpha_{внутр} = 180^\circ - \alpha_{внешн} > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (тупой угол).
$\beta_{внутр} = 180^\circ - \beta_{внешн} > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (тупой угол).
Таким образом, предположение о двух острых внешних углах приводит к тому, что в треугольнике должно быть два тупых внутренних угла.
Сумма двух этих тупых углов уже будет больше $180^\circ$: $\alpha_{внутр} + \beta_{внутр} > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Это противоречит теореме о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех внутренних углов равна $180^\circ$. Сумма только двух углов не может превышать $180^\circ$.
Следовательно, в треугольнике не может быть двух острых внешних углов.
Ответ: нет, не может.

б) тупых;

Рассмотрим возможность существования двух тупых внешних углов. Тупой угол — это угол, больший $90^\circ$.
Пусть в треугольнике есть два тупых внешних угла, $\alpha_{внешн} > 90^\circ$ и $\beta_{внешн} > 90^\circ$.
Найдем соответствующие им внутренние углы треугольника:
$\alpha_{внутр} = 180^\circ - \alpha_{внешн} < 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (острый угол).
$\beta_{внутр} = 180^\circ - \beta_{внешн} < 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (острый угол).
Таким образом, наличие двух тупых внешних углов означает наличие двух острых внутренних углов. Наличие двух острых внутренних углов возможно. Фактически, в любом треугольнике есть как минимум два острых угла. Следовательно, у любого треугольника есть как минимум два тупых внешних угла.
Например, в равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Тогда все внешние углы равны $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Все три внешних угла являются тупыми.
Следовательно, в треугольнике может быть два тупых внешних угла.
Ответ: да, может.

в) прямых внешних угла?

Рассмотрим возможность существования двух прямых внешних углов. Прямой угол равен $90^\circ$.
Пусть в треугольнике есть два прямых внешних угла: $\alpha_{внешн} = 90^\circ$ и $\beta_{внешн} = 90^\circ$.
Найдем соответствующие им внутренние углы:
$\alpha_{внутр} = 180^\circ - \alpha_{внешн} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
$\beta_{внутр} = 180^\circ - \beta_{внешн} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Это означает, что в треугольнике должно быть два прямых внутренних угла.
Сумма этих двух внутренних углов будет равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Сумма всех трех внутренних углов треугольника равна $180^\circ$. Тогда третий угол $\gamma$ должен быть равен $180^\circ - (\alpha_{внутр} + \beta_{внутр}) = 180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$.
Треугольник не может иметь угол, равный $0^\circ$. В этом случае все три вершины лежали бы на одной прямой, и фигура вырождалась бы в отрезок.
Следовательно, в треугольнике не может быть двух прямых внешних углов.
Ответ: нет, не может.