Номер 12.15, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.15 На рисунке 12.10 угол $1$ меньше угла $2$. Каким соотношением связаны стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$?

Рис. 12.10

Введем обозначения для внутренних углов треугольника $ABC$: $\angle BAC$ и $\angle BCA$.

Угол 1, показанный на рисунке, является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $A$. Внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Следовательно:
$\angle 1 + \angle BAC = 180^\circ$
Отсюда можно выразить внутренний угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 180^\circ - \angle 1$

Аналогично, угол 2 является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. Он смежен с внутренним углом $\angle BCA$:
$\angle 2 + \angle BCA = 180^\circ$
Отсюда выразим внутренний угол $\angle BCA$:
$\angle BCA = 180^\circ - \angle 2$

По условию задачи, угол 1 меньше угла 2:
$\angle 1 < \angle 2$

Используем это неравенство, чтобы сравнить внутренние углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$. Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$-\angle 1 > -\angle 2$
Теперь прибавим к обеим частям $180^\circ$. Знак неравенства не изменится:
$180^\circ - \angle 1 > 180^\circ - \angle 2$
Заменив левую и правую части на соответствующие им внутренние углы, получим:
$\angle BAC > \angle BCA$

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$:

• против угла $\angle BAC$ лежит сторона $BC$;
• против угла $\angle BCA$ лежит сторона $AB$.

Ответ: Сторона $BC$ больше стороны $AB$, то есть $BC > AB$.