Номер 12.16, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.16. На рисунке 12.11 угол 1 больше угла 2. Докажите, что $AB > BC$.

Рис. 12.11

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке. Углы 1 и 2 являются внешними углами треугольника при вершинах $A$ и $C$ соответственно.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Таким образом, для угла $\angle BAC$ (внутренний угол при вершине $A$) и угла 1 (внешний угол) справедливо равенство $\angle BAC = 180^\circ - \angle 1$. Аналогично, для угла $\angle BCA$ (внутренний угол при вершине $C$) и угла 2 (внешний угол) справедливо равенство $\angle BCA = 180^\circ - \angle 2$.

По условию задачи дано, что $\angle 1 > \angle 2$. Используем это неравенство для сравнения внутренних углов треугольника. Умножим обе части неравенства на $-1$, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $-\angle 1 < -\angle 2$. Теперь прибавим $180^\circ$ к обеим частям: $180^\circ - \angle 1 < 180^\circ - \angle 2$.

Подставляя выражения для внутренних углов, которые мы получили ранее, получаем неравенство: $\angle BAC < \angle BCA$.

Согласно теореме о соотношениях между сторонами и углами треугольника, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle BCA$, а сторона $BC$ — напротив угла $\angle BAC$.

Поскольку мы установили, что $\angle BCA > \angle BAC$, то и сторона, лежащая напротив большего угла, будет больше. Следовательно, $AB > BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия $\angle 1 > \angle 2$ следует, что смежный с $\angle 1$ внутренний угол $\angle BAC$ меньше, чем смежный с $\angle 2$ внутренний угол $\angle BCA$. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, поэтому $AB > BC$.