Номер 12.13, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.13. Вершины треугольника $ABC$ соединены отрезками с точкой $D$, лежащей внутри этого треугольника, $AC > AB$, $CD = BD$ (рис. 12.8). Докажите, что угол $\angle ACD$ меньше угла $\angle ABD$.

Рис. 12.8

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами углов и сторон в треугольнике.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол, противолежащий стороне $AC$, будет больше угла, противолежащего стороне $AB$. Таким образом, $\angle ABC > \angle ACB$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, отрезки $CD$ и $BD$ равны: $CD = BD$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle DBC = \angle DCB$.

3. Точка $D$ лежит внутри треугольника $ABC$. Это означает, что луч $BD$ проходит между лучами $BA$ и $BC$, а луч $CD$ — между лучами $CA$ и $CB$. Поэтому мы можем представить углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ в виде суммы углов:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$
$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$

4. Подставим эти выражения в неравенство, полученное в первом пункте ($\angle ABC > \angle ACB$):
$\angle ABD + \angle DBC > \angle ACD + \angle DCB$

5. Из второго пункта мы знаем, что $\angle DBC = \angle DCB$. Мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей неравенства, при этом знак неравенства не изменится:
$\angle ABD + \angle DBC - \angle DBC > \angle ACD + \angle DCB - \angle DCB$
$\angle ABD > \angle ACD$

6. Неравенство $\angle ABD > \angle ACD$ эквивалентно тому, что $\angle ACD < \angle ABD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основе свойств треугольников показано, что $\angle ACD < \angle ABD$.