Задания, страница 73 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Проведите доказательство этих признаков самостоятельно.

Поскольку в задании не указано, какие именно признаки нужно доказать, мы докажем три основных признака параллельности прямых, которые изучаются в курсе геометрии. Эти признаки основаны на углах, образованных при пересечении двух прямых третьей (секущей).

Для доказательства воспользуемся следующим рисунком, где прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$.

Признак 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $\angle{3} = \angle{5}$ (накрест лежащие углы).
Доказать: $a \parallel b$.
Доказательство (методом от противного):
1. Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. По определению, это означает, что они пересекаются в некоторой точке $M$.
2. Пусть точки пересечения секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ будут $A$ и $B$ соответственно. Тогда точки $A$, $B$ и $M$ образуют треугольник $\triangle ABM$.
3. В этом треугольнике угол $\angle{3}$ является внешним углом при вершине $A$. Угол $\angle{5}$ является внутренним углом треугольника при вершине $B$, не смежным с внешним углом $\angle{3}$.
4. Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Следовательно, должно выполняться неравенство $\angle{3} > \angle{5}$.
5. Однако это противоречит условию, по которому $\angle{3} = \angle{5}$.
6. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что прямые $a$ и $b$ пересекаются, неверно.
7. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не пересекаются, то есть они параллельны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признак 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $\angle{2} = \angle{6}$ (соответственные углы).
Доказать: $a \parallel b$.
Доказательство:
1. По условию нам дано, что $\angle{2} = \angle{6}$.
2. Углы $\angle{2}$ и $\angle{4}$ являются вертикальными углами. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle{2} = \angle{4}$.
3. Из двух равенств ($\angle{2} = \angle{6}$ и $\angle{2} = \angle{4}$) следует, что $\angle{4} = \angle{6}$.
4. Углы $\angle{4}$ и $\angle{6}$ являются накрест лежащими углами при прямых $a$, $b$ и секущей $c$.
5. Так как накрест лежащие углы равны, то по первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Признак 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних внутренних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Прямые $a$ и $b$, секущая $c$. $\angle{4} + \angle{5} = 180^\circ$ (односторонние внутренние углы).
Доказать: $a \parallel b$.
Доказательство:
1. По условию нам дано, что $\angle{4} + \angle{5} = 180^\circ$.
2. Углы $\angle{3}$ и $\angle{4}$ являются смежными углами. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $\angle{3} + \angle{4} = 180^\circ$.
3. Приравняем левые части двух равенств: $\angle{4} + \angle{5} = \angle{3} + \angle{4}$.
4. Вычтем из обеих частей равенства $\angle{4}$, получим $\angle{5} = \angle{3}$.
5. Углы $\angle{3}$ и $\angle{5}$ являются накрест лежащими углами при прямых $a$, $b$ и секущей $c$.
6. Так как накрест лежащие углы равны, то по первому признаку параллельности прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Если сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.