Номер 13.2, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок $AB$, а вершина $C$ находится в одном из узлов сетки (рис. 13.6).

а)

б)

Рис. 13.6

а) Чтобы треугольник $ABC$ был прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, его катеты $AC$ и $BC$ должны быть перпендикулярны. На клетчатой бумаге этого можно достичь, расположив катеты параллельно линиям сетки: один горизонтально, другой вертикально. Вершина $C$ будет находиться в точке пересечения горизонтальной прямой, проходящей через одну из данных вершин ($A$ или $B$), и вертикальной прямой, проходящей через другую вершину.

Существует два таких узла сетки. Например, можно провести горизонтальную линию через точку $A$ и вертикальную линию через точку $B$. Точка их пересечения $C$ и будет вершиной прямого угла. В этом случае катеты $AC$ и $BC$ будут иметь длины, равные смещениям по горизонтали и вертикали между точками $A$ и $B$. Из рисунка видно, что смещение составляет 3 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали. Таким образом, по теореме, обратной теореме Пифагора, $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 2^2 = 13$, что подтверждает, что угол $C$ прямой.

Один из возможных вариантов построения показан на рисунке ниже.

Ответ: На рисунке выше показан один из двух возможных прямоугольных треугольников $ABC$. Вторая возможная вершина $C$ находится в узле, симметричном построенному относительно середины отрезка $AB$.

б) В этом случае гипотенуза $AB$ расположена горизонтально. Катеты $AC$ и $BC$ не могут быть одновременно параллельны линиям сетки, так как в этом случае вершина $C$ совпала бы с $A$ или $B$. Воспользуемся свойством, что вершина прямого угла вписанного треугольника лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре.

Длина отрезка $AB$ равна 4 клеткам. Следовательно, диаметр окружности, на которой лежит точка $C$, равен 4, а ее радиус $R=2$. Центр этой окружности, точка $M$, является серединой отрезка $AB$. Нам нужно найти узел сетки $C$, расстояние от которого до точки $M$ равно 2 клеткам. Если $dx$ и $dy$ — смещения по горизонтали и вертикали в клетках от $M$ до $C$, то по теореме Пифагора должно выполняться $dx^2 + dy^2 = R^2 = 2^2 = 4$.

Целочисленными решениями этого уравнения являются пары $(dx, dy)$: $(0, 2)$, $(0, -2)$, $(2, 0)$ и $(-2, 0)$. Смещения на $(2, 0)$ и $(-2, 0)$ от точки $M$ приводят нас в точки $B$ и $A$. Смещения на $(0, 2)$ и $(0, -2)$ приводят в два узла сетки, которые могут быть вершиной $C$. Выберем точку $C$, расположенную над гипотенузой $AB$.

Один из возможных вариантов построения показан на рисунке ниже.

Ответ: На рисунке выше показан один из двух возможных прямоугольных треугольников $ABC$. Вторая возможная вершина $C$ находится в узле под отрезком $AB$, симметрично построенной вершине относительно гипотенузы.