Номер 13.1, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.1. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого является отрезок $AC$, а вершина $B$ находится в одном из узлов сетки (рис. 13.5).

а)

б)

Рис. 13.5

Чтобы построить прямоугольный треугольник, в котором отрезок $AC$ является катетом, необходимо, чтобы прямой угол находился в одной из его вершин, то есть в точке $A$ или в точке $C$. Это означает, что второй катет (соответственно, $AB$ или $CB$) должен быть перпендикулярен катету $AC$.

Для построения перпендикулярного отрезка на сетке можно использовать простое правило, основанное на векторах или угловых коэффициентах. Если отрезок $AC$ строится смещением на $\Delta x$ клеток по горизонтали и на $\Delta y$ клеток по вертикали, то перпендикулярный ему отрезок такой же длины будет строиться смещением на $\Delta y$ клеток по горизонтали и $(-\Delta x)$ клеток по вертикали (или на $(-\Delta y)$ и $\Delta x$ клеток соответственно).

а) Введем систему координат с началом в левом верхнем узле сетки, ось $Ox$ направим вправо, а ось $Oy$ — вниз. В этой системе вершина $A$ имеет координаты $(1, 1)$, а вершина $C$ — $(3, 3)$.

Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сместиться на $3-1=2$ клетки вправо и на $3-1=2$ клетки вниз. Таким образом, вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(2, 2)$.

Вектор, перпендикулярный вектору $(2, 2)$, будет иметь координаты $(2, -2)$ или $(-2, 2)$. Для удобства можно использовать и коллинеарные им векторы, например, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

Рассмотрим два случая:

1. Прямой угол в вершине A. Искомую вершину $B$ можно найти, отложив от точки $A(1, 1)$ перпендикулярный вектор.

• Отложив вектор $(-1, 1)$, получим точку $B(1-1, 1+1) = B(0, 2)$.
• Отложив вектор $(1, -1)$, получим точку $B(1+1, 1-1) = B(2, 0)$.

2. Прямой угол в вершине C. Искомую вершину $B$ можно найти, отложив от точки $C(3, 3)$ перпендикулярный вектор.

• Отложив вектор $(-1, 1)$, получим точку $B(3-1, 3+1) = B(2, 4)$.
• Отложив вектор $(1, -1)$, получим точку $B(3+1, 3-1) = B(4, 2)$.

Любая из найденных четырех точек — $(0, 2)$, $(2, 0)$, $(2, 4)$, $(4, 2)$ — может быть вершиной $B$. Выберем, например, точку $B(2,4)$. В этом случае треугольник $ABC$ будет прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Ответ:

б) Аналогично, введем систему координат с началом в левом верхнем узле сетки. В этой системе вершина $A$ имеет координаты $(2, 1)$, а вершина $C$ — $(3, 3)$.

Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $C$, нужно сместиться на $3-2=1$ клетку вправо и на $3-1=2$ клетки вниз. Таким образом, вектор $\vec{AC}$ имеет координаты $(1, 2)$.

Вектор, перпендикулярный вектору $(1, 2)$, будет иметь координаты $(-2, 1)$ или $(2, -1)$.

Рассмотрим два случая:

1. Прямой угол в вершине A. Отложим от точки $A(2, 1)$ перпендикулярный вектор.

• Отложив вектор $(-2, 1)$, получим точку $B(2-2, 1+1) = B(0, 2)$.
• Отложив вектор $(2, -1)$, получим точку $B(2+2, 1-1) = B(4, 0)$.

2. Прямой угол в вершине C. Отложим от точки $C(3, 3)$ перпендикулярный вектор.

• Отложив вектор $(-2, 1)$, получим точку $B(3-2, 3+1) = B(1, 4)$.
• Отложив вектор $(2, -1)$, получим точку $B(3+2, 3-1) = B(5, 2)$.

Любая из найденных четырех точек — $(0, 2)$, $(4, 0)$, $(1, 4)$, $(5, 2)$ — может быть вершиной $B$. Выберем, например, точку $B(1,4)$. В этом случае треугольник $ABC$ будет прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Ответ: