Номер 13.8, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.8. Докажите, что в прямоугольном треугольнике имеется два острых угла.

Доказательство основано на теореме о сумме углов треугольника.

1. Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть его величина равна $90^\circ$. Обозначим этот угол как $\angle C$.

2. Пусть два других угла этого треугольника будут $\angle A$ и $\angle B$.

3. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для нашего случая:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

4. Подставим в это уравнение известное значение прямого угла $\angle C = 90^\circ$:

$\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$

5. Найдем сумму двух оставшихся углов:

$\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

6. Углы в треугольнике всегда имеют положительную величину, то есть $\angle A > 0^\circ$ и $\angle B > 0^\circ$.

7. Из равенства $\angle A + \angle B = 90^\circ$ и того факта, что оба угла положительны, следует:

- Поскольку $\angle B > 0^\circ$, то $\angle A = 90^\circ - \angle B$, из чего следует, что $\angle A < 90^\circ$.

- Поскольку $\angle A > 0^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - \angle A$, из чего следует, что $\angle B < 90^\circ$.

8. Угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, по определению является острым углом.

Таким образом, мы доказали, что два угла ($\angle A$ и $\angle B$) в прямоугольном треугольнике всегда являются острыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: В любом прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как величина каждого из этих углов больше нуля, то каждый из них должен быть меньше $90^\circ$, что по определению означает, что они являются острыми.