Номер 13.12, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 13. Прямоугольные треугольники. Глава 2. Треугольники - номер 13.12, страница 76.

Условие.

13.12. Используя метод доказательства "от противного", докажите, что если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два прямоугольных треугольника.
$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
$BC = B_1C_1$ (катет одного треугольника равен катету другого).
$\angle A = \angle A_1$ (острый угол, противолежащий катету $BC$, равен острому углу, противолежащему катету $B_1C_1$).

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства «от противного». Предположим, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ не равны, то есть $\triangle ABC \neq \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно тангенсу этого угла:
$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$
Из этого соотношения мы можем выразить длину катета $AC$:
$AC = \frac{BC}{\tan(\angle A)}$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо соотношение:
$\tan(\angle A_1) = \frac{B_1C_1}{A_1C_1}$
Соответственно, длина катета $A_1C_1$ равна:
$A_1C_1 = \frac{B_1C_1}{\tan(\angle A_1)}$

Согласно условию задачи, нам дано, что катеты $BC$ и $B_1C_1$ равны ($BC = B_1C_1$), и противолежащие им углы $A$ и $A_1$ равны ($\angle A = \angle A_1$). Так как углы равны, то равны и их тангенсы: $\tan(\angle A) = \tan(\angle A_1)$.

Теперь сравним выражения для длин катетов $AC$ и $A_1C_1$. Поскольку в правых частях формул равны числители ($BC = B_1C_1$) и равны знаменатели ($\tan(\angle A) = \tan(\angle A_1)$), то и сами дроби равны:
$AC = \frac{BC}{\tan(\angle A)} = \frac{B_1C_1}{\tan(\angle A_1)} = A_1C_1$
Таким образом, мы доказали, что катет $AC$ равен катету $A_1C_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по известным нам элементам:
1. $BC = B_1C_1$ (по условию).
2. $AC = A_1C_1$ (как доказано выше).
3. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию, это угол между катетами).

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Полученный вывод, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, напрямую противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $\triangle ABC \neq \triangle A_1B_1C_1$.Это противоречие означает, что наше предположение было неверным.

Таким образом, исходное утверждение верно: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.