Номер 13.10, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 13. Прямоугольные треугольники. Глава 2. Треугольники - номер 13.10, страница 76.

Условие.

13.10. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) $CD$ – высота. Докажите, что треугольники $ACD$ и $BCD$ равны.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства того, что треугольники $ACD$ и $BCD$ равны, рассмотрим эти два треугольника, на которые высота $CD$ делит равнобедренный треугольник $ABC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AC = BC$.

Отрезок $CD$ является высотой, проведенной к основанию $AB$. По определению высоты, она перпендикулярна стороне, к которой проведена. Следовательно, $CD \perp AB$. Это означает, что углы $\angle CDA$ и $\angle CDB$ являются прямыми, то есть их градусная мера составляет $90^\circ$. Таким образом, треугольники $ACD$ и $BCD$ — прямоугольные.

Сравним элементы прямоугольных треугольников $ACD$ и $BCD$:

1. Гипотенуза $AC$ треугольника $ACD$ равна гипотенузе $BC$ треугольника $BCD$ по условию ($AC=BC$).

2. Катет $CD$ является общим для обоих треугольников.

Поскольку прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого (признак равенства по гипотенузе и катету), то мы можем заключить, что $\triangle ACD = \triangle BCD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ACD$ и $BCD$ являются прямоугольными, так как $CD$ — высота. Они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: у них общий катет $CD$ и равные гипотенузы $AC$ и $BC$ (так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).